Lösung 2.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Es wäre möglich die Substitution <math>u=x-1</math> zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit den Term 3 lösen. Wir ziehen statt dessen den Faktor 3 aus den Nenner
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Es wäre möglich die Substitution <math>u=x-1</math> zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen statt dessen den Faktor 3 aus den Nenner
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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und schieben den Faktor <math>\tfrac{1}{3}</math> in die Quadrate <math>(x-1)^2</math>,
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und schreiben den Faktor <math>\tfrac{1}{3}</math> in das Quadrat <math>(x-1)^2</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 10:06, 22. Aug. 2009

Es wäre möglich die Substitution \displaystyle u=x-1 zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen statt dessen den Faktor 3 aus den Nenner

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{dx}{(x-1)^2+3} &= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} \end{align}

und schreiben den Faktor \displaystyle \tfrac{1}{3} in das Quadrat \displaystyle (x-1)^2,

\displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}

Jetzt machen wir die Substitution \displaystyle u = (x-1)/\!\sqrt{3} und erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x-1)/\!\sqrt{3}\\[5pt] du &= dx/\!\sqrt{3} \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{3}\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\,\textrm{.} \end{align}

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