Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Wir schreiben zuerst das Integral wie	+	Wir schreiben zuerst das Integral als
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,</math>}}
-	Nachdem die Ableitung von <math>\ln x</math>, <math>1/x</math> ist, machen wir die Substitution <math>u = \ln x</math>, und erhalten so	+	Nachdem die Ableitung von <math>\ln x</math>, <math>1/x</math> ist, substituieren wir <math>u = \ln x</math> und erhalten so
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-	und also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir,	+	also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

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Version vom 09:54, 22. Aug. 2009

Wir schreiben zuerst das Integral als

\displaystyle \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,

Nachdem die Ableitung von \displaystyle \ln x, \displaystyle 1/x ist, substituieren wir \displaystyle u = \ln x und erhalten so

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}

also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir,

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.} \end{align}