Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
[[Image:1_3_4-1-1.gif|center]]
[[Image:1_3_4-1-1.gif|center]]
-
Die Fläche des Rechteckes ist
+
Die Fläche des Rechtecks ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.</math>}}
Wir wollen diese Fläche maximieren.
Wir wollen diese Fläche maximieren.
-
Wir sehen dass <math>P</math> in der ersten Quadranten liegen muss, <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, wir erhalten damit, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximu von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
+
Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
-
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
+
# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).
Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).
Zeile 21: Zeile 21:
Die Ableitung der Funktion ist
Die Ableitung der Funktion ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}
-
und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
+
und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert
Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert
Zeile 31: Zeile 31:
also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
-
Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:
+
Also ist der optimale Punkt <math>P</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 14:07, 20. Aug. 2009

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die y-Koordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, da \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass \displaystyle P im ersten Quadranten liegen muss. \displaystyle x\ge 0, also \displaystyle y=1-x^2\ge 0. Wir wissen nun, dass \displaystyle x\le 1 ist. Also suchen wir das Maximum von \displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.


Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Punkte.
Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat im stationären Punkt den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also ist \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:4“