Lösung 1.3:3d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | ||
| - | # stationäre Punkte | + | # stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # | + | # singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder |
# Endpunkte. | # Endpunkte. | ||
| - | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. | + | Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] | &= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] | ||
&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] | &= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] | ||
| - | &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{ | + | &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist | + | Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung |
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder | + | Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder |
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | t^2 + 2t - 1 &= 0\ | + | t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt] |
| - | (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\ | + | (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt] |
| - | (t+1)^2 &= 2\ | + | (t+1)^2 &= 2\, |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>. | |
| - | Die Funktion hat also drei stationäre Punkte | + | Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>, |
<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>. | <math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>. | ||
| - | Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass | + | Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}} | ||
| - | und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir | + | und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir |
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1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] | 1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] | ||
&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] | &= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] | ||
| - | &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2 | + | &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,. |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Die Ableitung ist also | Die Ableitung ist also | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>.}} |
| - | Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren | + | Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren. |
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| - | Durch Ausmultiplizieren | + | Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung. |
Version vom 13:52, 20. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte.
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner \displaystyle 1+x^{4} ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.
| \displaystyle \begin{align}
f^{\,\prime}(x) &= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{} \end{align} |
Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle 2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.} |
Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren \displaystyle x oder \displaystyle 1-2x^2-x^4 null ist. Also ist \displaystyle x=0 oder
| \displaystyle 1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.} |
Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir \displaystyle t=x^{2} substituieren,
| \displaystyle 1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.} |
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 &= 2\, \end{align} |
Die Lösungen sind \displaystyle t=-1\pm \sqrt{2}. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit \displaystyle x^{2} sein. Also ist \displaystyle t=-1+\sqrt{2}=x^2\,.
Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; \displaystyle x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,.
Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2} |
und durch quadratische Ergänzung von \displaystyle 1-2x^2-x^4 (als Gleichung in \displaystyle x^{2}) erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] &= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,. \end{align} |
Die Ableitung ist also
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}. |
Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
| \displaystyle x | \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1} | ||||
| \displaystyle 2x | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle (x^4 + 1)^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
| \displaystyle x | \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1} | ||||
| \displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow | \displaystyle 1 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) | \displaystyle \searrow |
Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum im Punkt \displaystyle x=0.
