Lösung 1.3:3a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | ||
| - | # stationäre Punkte | + | # stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # | + | # singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder |
# Endpunkte. | # Endpunkte. | ||
| - | Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert | + | Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen. |
| - | Die stationären Punkte erhalten wir | + | Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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| - | + | Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist. | |
| - | Im letzten Schritt | + | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung | + | Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}} | ||
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und erhalten | und erhalten | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0\,.</math>}} |
| - | + | Diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>. | |
Also hat Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>. | Also hat Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>. | ||
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| - | Hier sehen wir dass <math>x=0</math> ein lokales Minimum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt). | + | Hier sehen wir, dass <math>x=0</math> ein lokales Minimum ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt). |
Version vom 13:30, 20. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte.
Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
Die stationären Punkte erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
| \displaystyle \begin{align}
f^{\,\prime}(x) &= -4x^3 + 8\cdot 3x^2 - 18\cdot 2x\\[5pt] &= -4x^3 + 24x^2 - 36x\\[5pt] &= -4x(x^2 - 6x + 9) \end{align} |
Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
| \displaystyle x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.} |
Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0 |
und erhalten
| \displaystyle (x-3)^2 = 0\,. |
Diese Gleichung hat die Wurzel \displaystyle x=3.
Also hat Ableitung die Nullstellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=3.
Nachdem die Ableitung
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2 |
ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren \displaystyle -4x und \displaystyle (x-3)^{2}.
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle 3 | |||
| \displaystyle -4x | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - |
| \displaystyle (x-3)^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
Mit den Rechenregeln \displaystyle {+}\cdot {+}={+}, \displaystyle {-}\cdot {+} = {-} und \displaystyle {-}\cdot {-}={+} für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle 3 | |||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle - |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 0 | \displaystyle \searrow | \displaystyle -27 | \displaystyle \searrow |
Hier sehen wir, dass \displaystyle x=0 ein lokales Minimum ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).
