Lösung 1.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
+
# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
Die Ableitung ist
Die Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}
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Quadratische Ergänzung ergibt
+
Die Quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Diese Gleichung hat kein Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung
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Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

Version vom 13:11, 20. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}

Die Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,

also

\displaystyle (x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)

sehen wir, dass sie immer größer als null ist, also ist die Funktion streng monoton steigend. Wir berechnen einige Funktionswerte, um die Funktion zu zeichnen.

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