Lösung 1.1:2f
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus | + | Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus. |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{}</math>}} |
| - | Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir dass <math>\cos (\pi/3)</math> und <math>\sin (\pi/3)</math> Konstanten sind | + | Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass <math>\cos (\pi/3)</math> und <math>\sin (\pi/3)</math> Konstanten sind. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt] | &= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt] | ||
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt] | &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt] | ||
| - | &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{ | + | &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
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| - | Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen. | + | Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen. |
Aktuelle Version
Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus.
| \displaystyle f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{} |
Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass \displaystyle \cos (\pi/3) und \displaystyle \sin (\pi/3) Konstanten sind.
| \displaystyle \begin{align}
f^{\,\prime}(x) &= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{} \end{align} |
Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
f^{\,\prime}(x) &= -\Bigl(\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &= -\sin\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.
