Lösung 1.1:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
-
Wir verenden die Additionsfunktion für Kosinus,
+
Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus,
{{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 12: Zeile 12:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Verwenden wir wieder die Additionsfunktion rückwärts, erhalten wir
+
Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 21: Zeile 21:
-
Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne den Additionsfunktionen.
+
Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

Version vom 11:58, 7. Aug. 2009

Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus,

\displaystyle f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{.}

Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir dass \displaystyle \cos (\pi/3) und \displaystyle \sin (\pi/3) Konstanten sind,

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{.} \end{align}

Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= -\Bigl(\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &= -\sin\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.1:2f“