Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir benennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, nachdem <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.
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Wir nennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''-Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, da <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.
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{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}
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Wir wollen diese Fläche in Bezug auf ''x'' maximieren.
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Wir wollen diese Fläche maximieren.
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Wir sehen von der Figur her dass <math>P</math> in der ersten Quadrante liegen muss, <math>x\ge 0</math>, und also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, und wir erhalten dass <math>x\le 1</math>. Also suchen wir das Maxima von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Wir sehen dass <math>P</math> in der ersten Quadranten liegen muss, <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, wir erhalten damit, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximu von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, so der wir müssen den 2:en Fall nicht beachten. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima, siehe Figur).
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).
Die Ableitung der Funktion ist
Die Ableitung der Funktion ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
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und also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maxima.
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also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:
Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 10:18, 5. Aug. 2009

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die y-Koordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, da \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechteckes ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen dass \displaystyle P in der ersten Quadranten liegen muss, \displaystyle x\ge 0, also \displaystyle y=1-x^2\ge 0, wir erhalten damit, dass \displaystyle x\le 1 ist. Also suchen wir das Maximu von\displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.


Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Punkte. Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat im stationären Punkt den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also ist \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P:

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}
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