Lösung 1.3:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Quadratische Ergänzung ergibt | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}} | ||
Version vom 16:02, 4. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
- Endpunkte.
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
Die Ableitung ist
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10) |
und wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.} |
Quadratische Ergänzung ergibt
| \displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,, |
also
| \displaystyle (x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.} |
Diese Gleichung hat kein Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1) |
sehen wir, dass sie immer größer als null ist, also ist die Funktion streng monoton steigend. Wir berechnen einige Funktionswerte, um die Funktion zu zeichnen.
