Lösung 1.3:2a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | ||
- | # stationäre Punkte, | + | # stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
- | # Singuläre Punkte, | + | # Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder |
# Endpunkte. | # Endpunkte. | ||
Zeile 8: | Zeile 8: | ||
<ol> | <ol> | ||
- | <li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> | + | <li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}} | ||
- | + | ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li> | |
- | <li> | + | <li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li> |
- | <li>Die Funktion ist überall definiert, | + | <li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li> |
</ol> | </ol> | ||
- | Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und | + | Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle. |
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
Zeile 37: | Zeile 37: | ||
|} | |} | ||
- | + | Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum. | |
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen. | Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen. | ||
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]] | [[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]] |
Version vom 15:24, 4. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
- Endpunkte.
Wir untersuchen alle drei Fälle.
- Die Ableitung von \displaystyle f(x)
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2 - Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
- Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.
Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist \displaystyle x=1\, der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
\displaystyle x | \displaystyle 1 | ||
\displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
\displaystyle f(x) | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow |
Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.