3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Multiplikation ==
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Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur mit der extra Bedienung dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> dass
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Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> dass
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
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== Komplexe Konjugation ==
== Komplexe Konjugation ==
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Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> komplex konjugierte Zahl. (Der Gegensatz gilt auch, nämlich dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln;
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Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> komplex konjugierte Zahl. (Das Gegenteil gilt auch, nämlich dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln;
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Am wichtigsten ist, dass man erhält
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Version vom 23:24, 6. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Real- und Imaginärteil
  • Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation
  • Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfachen.
  • Komplexe Gleichungen lösen und die Antwort vereinfachen.

Einführung

Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung \displaystyle x^2+1=0 keine reellen Lösungen, nachdem keine reelle Zahl \displaystyle x^2=-1 erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir \displaystyle \sqrt{-1} als die Zahl definieren, die die Gleichung \displaystyle x^2=-1 erfüllt, und so rechnen als wäre \displaystyle \sqrt{-1} eine normale Zahl. Obwohl die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.


Beispiel 1

Wenn wir die Summe der Wurzeln (Lösungen) zur Gleichung \displaystyle x^2-2x+2=0 suchen, finden wir zuerst die Wurzeln \displaystyle x_1=1+\sqrt{-1} und \displaystyle x_2=1-\sqrt{-1}. Diese Wurzeln enthalten \displaystyle \sqrt{-1}. Wenn wir ganz normal mit \displaystyle \sqrt{-1} rechnen, sehen wir, dass die Summen von \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 \displaystyle 1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2 eine ganz normale reelle Zahl ist.

Obwohl die Antwort reell war, haben wir die "imaginäre" Zahl \displaystyle \sqrt{-1} angewendet, um die Antwort zu erhalten.


Definition der komplexen Zahlen

Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1}) sind etwas irreführend, nachdem alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1} entstanden.

Nachdem die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung wie zum Beispiel \displaystyle \sqrt{2} geschrieben werden kann, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich \displaystyle i (oder manchmal auch \displaystyle j). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form \displaystyle b\,i, wo \displaystyle b reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl mit der Form

\displaystyle z=a+bi\,\mbox{,}

wo \displaystyle a und \displaystyle b reelle Zahlen sind, und \displaystyle i die Gleichung \displaystyle i^2=-1 erfüllt.

Wenn \displaystyle a = 0 nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn \displaystyle b = 0 ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit C bezeichnen.

Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit \displaystyle z. Wenn \displaystyle z=a+bi, wo \displaystyle a und \displaystyle b reell sind, ist \displaystyle a der Realteil, und \displaystyle b der Imaginärteil von \displaystyle z. Für dies verwendet man folgende Bezeichnungen;

\displaystyle \begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass \displaystyle i^2=-1.


Addition und Subtraktion

Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man deren Real- und Imaginärteil je für sich.

Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di zwei komplexe Zahlen sind, dann ist,

\displaystyle \begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

  1. \displaystyle (3-5i)+(-4+i)=-1-4i
  2. \displaystyle \bigl(\tfrac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{6}+3i\bigr) = \tfrac{1}{3}-i
  3. \displaystyle \frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10} = \frac{-9+9i}{10} = -0\textrm{.}9 + 0\textrm{.}9i


Multiplikation

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass \displaystyle i^2=-1. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di dass

\displaystyle z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3(4-i)=12-3i
  2. \displaystyle 2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i
  3. \displaystyle (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i
  4. \displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13
  5. \displaystyle (3+i)^2=3^2+2\times3i+i^2=8+6i
  6. \displaystyle i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1
  7. \displaystyle i^{23}=i^{22}\times i=(i^2)^{11}\times i=(-1)^{11}i=-i


Komplexe Konjugation

Wenn \displaystyle z=a+bi nennt man \displaystyle \overline{z} = a-bi die zu \displaystyle z komplex konjugierte Zahl. (Das Gegenteil gilt auch, nämlich dass \displaystyle z die konjugiert komplexe Zahl von \displaystyle \overline{z} ist). Man erhält dadurch folgende Regeln;

\displaystyle \begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}

Am wichtigsten ist, dass man erhält

\displaystyle z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}

Das Produkt von zwei konjugiert komplexen Zahlen ist also immer reell.


Beispiel 4

  1. \displaystyle z=5+i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z}=5-i\,.
  2. \displaystyle z=-3-2i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =-3+2i\,.
  3. \displaystyle z=17\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =17\,.
  4. \displaystyle z=i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =-i\,.
  5. \displaystyle z=-5i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =5i\,.

Beispiel 5

  1. If \displaystyle z=4+3i one has
    • \displaystyle z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8
    • \displaystyle z-\overline{z} = 6i
    • \displaystyle z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25
  2. If for \displaystyle z one has \displaystyle \mathop{\rm Re} z=-2 and \displaystyle \mathop{\rm Im} z=1, one gets
    • \displaystyle z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4
    • \displaystyle z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i
    • \displaystyle z\, \overline{z} = (-2)^2+1^2=5


Division

Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitern man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, wobei man einen reellen Nenner erhält. Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gilt im Allgemeinen:

\displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i

Beispiel 6

  1. \displaystyle \quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i
  2. \displaystyle \quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i
  3. \displaystyle \quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i

Beispiel 7

  1. \displaystyle \quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i} = \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}
    \displaystyle \quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{} = \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10} = \frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \quad\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i}{1-i}-\dfrac{2}{1-i}}{\dfrac{2i(2+i)}{(2+i)} + \dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}} = \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}
    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-i}{1-i}\times \frac{2+i}{-2+5i} = \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)} = \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(} \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}

Beispiel 8

Bestimmen Sie die reelle Zahl \displaystyle a sodass der Ausdruck \displaystyle \ \frac{2-3i}{2+ai}\ reell ist.

Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.

\displaystyle \frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}

Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also

\displaystyle 2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}


Gleichungen

Wenn zwei komplexe Zahlen, \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein, und daher ist \displaystyle a=c und \displaystyle b=d). Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten \displaystyle z löst, schreibt man oft \displaystyle z=a+bi und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung mit einander.

Beispiel 9

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3z+1-i=z-3+7i.

    Wir sammeln alle \displaystyle z auf der linken Seite der Gleichung, indem wir \displaystyle z von beiden Seiten subtrahieren
    \displaystyle 2z+1-i = -3+7i

    Jetzt subtrahieren wir \displaystyle 1-i von beiden Seiten,

    \displaystyle 2z = -4+8i\,\mbox{.}
    Also ist \displaystyle \ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle z(-1-i)=6-2i.

    Wir dividieren beide Zeiten durch \displaystyle -1-i um \displaystyle z zu erhalten.
    \displaystyle z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3iz-2i=1-z.

    Wir addieren \displaystyle z und \displaystyle 2i auf beiden Seiten und erhalten
    \displaystyle 3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}

    Dies ergibt

    \displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}
  4. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2z+1-i=\bar z +3 + 2i.

    Die Gleichung enthält \displaystyle z und \displaystyle \overline{z}. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass \displaystyle z=a+ib und die Gleichung für \displaystyle a und \displaystyle b lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren.
    \displaystyle 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i

    Also

    \displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}

    dies ergibt

    \displaystyle \left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}
    Die Antwort ist daher \displaystyle z=2+i.


Tipps fürs Lernen

Bedenken Sie folgendes:

Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass \displaystyle i^2=-1.

Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.

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