Lösung 3.4:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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According to the factor theorem, a polynomial that has the zeros <math>-1+i</math> and <math>-1-i</math> must contain the factors <math>z-(-1+i)</math> and <math>z-(-1-i)</math>. An example of such a polynomial is
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Ein Polynom mit den Nullstellen <math>-1+i</math> und <math>-1-i</math> enthält die Faktoren <math>z-(-1+i)</math> und <math>z-(-1-i)</math>. Ein so ein Polynom ist
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-(-1+i))(z-(-1-i)) = z^2+2z+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-(-1+i))(z-(-1-i)) = z^2+2z+2\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: Alle Polynome mit diesen Nullstellen sind
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Note: If one wants to have all the polynomials which have only these zeros, the answer is
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{{Abgesetzte Formel||<math>C(z+1-i)^m(z+1+i)^n</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>C(z+1-i)^m(z+1+i)^n</math>}}
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where <math>C</math> is a non-zero constant and <math>m</math> and <math>n</math> are positive integers.
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wo <math>C\ne 0</math> eine beliebige konstante ist, und <math>m</math> und <math>n</math> positive ganze Zahlen sind.

Version vom 14:33, 21. Mai 2009

Ein Polynom mit den Nullstellen \displaystyle -1+i und \displaystyle -1-i enthält die Faktoren \displaystyle z-(-1+i) und \displaystyle z-(-1-i). Ein so ein Polynom ist

\displaystyle (z-(-1+i))(z-(-1-i)) = z^2+2z+2\,\textrm{.}

Hinweis: Alle Polynome mit diesen Nullstellen sind

\displaystyle C(z+1-i)^m(z+1+i)^n

wo \displaystyle C\ne 0 eine beliebige konstante ist, und \displaystyle m und \displaystyle n positive ganze Zahlen sind.

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