Lösung 3.3:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
K (Solution 3.3:5c moved to Lösung 3.3:5c: Robot: moved page) |
|||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
- | + | Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Zeile 8: | Zeile 8: | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | + | Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> erhalten wir die Gleichung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | + | Gleichungen wie diese Löst man normalerweise mit den Moivreschen Satz. In diesen Fall entsteht aber dass Problem das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein, und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen. | |
- | + | Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | ||
- | + | wir erweitern die linke Seite | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | + | Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
Zeile 29: | Zeile 29: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | + | Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | ||
- | + | Berechnen wir den betrag von beiden Seiten erhalten wir | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}} | ||
- | + | also | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | + | Jetzt haben wir drei Gleichungen, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
Zeile 49: | Zeile 49: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | + | Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir | |
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | ||
|| | || | ||
Zeile 75: | Zeile 75: | ||
|} | |} | ||
- | + | und dies ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>. | |
+ | Subtrahieren wir die erste Gleichung von der Dritten, erhalten wir, | ||
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | ||
|| | || | ||
Zeile 101: | Zeile 102: | ||
|} | |} | ||
- | + | Und also ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. Dies ergibt vier mögliche Lösungen. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
Zeile 123: | Zeile 124: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | + | Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
Zeile 135: | Zeile 136: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
- | + | Daher erhalten wir die Lösungen | |
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}} | ||
- | + | oder, in <math>z</math>, | |
- | {{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}} |
- | + | Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben, | |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} |
Version vom 17:02, 18. Mai 2009
Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung,
\displaystyle \begin{align}
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,, \end{align} |
Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+3i}{2} erhalten wir die Gleichung
\displaystyle w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} |
Gleichungen wie diese Löst man normalerweise mit den Moivreschen Satz. In diesen Fall entsteht aber dass Problem das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir \displaystyle w=x+iy sein, und versuchen \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.
Substituieren wir \displaystyle w=x+iy, erhalten wir die Gleichung
\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i |
wir erweitern die linke Seite
\displaystyle x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} |
Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen
\displaystyle \left\{\begin{align}
x^2-y^2 &= 2\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich
\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i |
Berechnen wir den betrag von beiden Seiten erhalten wir
\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2} |
also
\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir drei Gleichungen,
\displaystyle \left\{\begin{align}
x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
\displaystyle x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 2 | |
\displaystyle +\ \ | \displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{5}{2} |
\displaystyle 2x^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{9}{2} |
und dies ergibt \displaystyle x=\pm\tfrac{3}{2}. Subtrahieren wir die erste Gleichung von der Dritten, erhalten wir,
\displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{5}{2} | |
\displaystyle -\ \ | \displaystyle \bigl(x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 2\rlap{\bigr)} |
\displaystyle 2y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{1}{2} |
Und also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Dies ergibt vier mögliche Lösungen.
\displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. |
Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich
\displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{and}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. |
Daher erhalten wir die Lösungen
\displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad and \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2}\,, |
oder, in \displaystyle z,
\displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.} |
Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben,
\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}