Lösung 3.3:4d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | + | Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann die unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein. | |
| - | + | Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Wir erhalten die Wurzeln | |
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Nachdem keiner dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung. | |
| - | + | Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben. | |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
| - | z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{ | + | z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite} |
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
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&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
&= \frac{1}{2}\\[5pt] | &= \frac{1}{2}\\[5pt] | ||
| - | &= \text{ | + | &= \text{Rechte Seite,}\\[10pt] |
| - | z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{ | + | z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite} |
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
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&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | &= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] | ||
&= \frac{1}{2}\\[5pt] | &= \frac{1}{2}\\[5pt] | ||
| - | &= \text{ | + | &= \text{Rechte Seite.} |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Version vom 16:10, 18. Mai 2009
Um \displaystyle z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit \displaystyle z,
| \displaystyle 1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.} |
In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn \displaystyle z=0 eine Wurzel ist, kann die unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung,
| \displaystyle \begin{align}
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten die Wurzeln
| \displaystyle z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad and \displaystyle \quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.} |
Nachdem keiner dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben.
\displaystyle \begin{align} z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite,}\\[10pt] z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}
