Lösung 3.3:2e

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If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation
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Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}
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We know already that this equation has roots
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wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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so <math>z</math> should satisfy one of the equation's
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also muss <math>z</math> die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}
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We solve these equations one by one.
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erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.
*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:
*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:
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:Multiply both sides by <math>z-i</math>,
+
:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}
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:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,
+
:und ziehen Alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
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:This gives
+
:Dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:
*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:
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:Multiply both sides by <math>z-i</math>,
+
:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}
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:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,
+
:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}
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:This gives
+
:Dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}
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The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.
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Die Wurzeln sind daher <math>z=-1</math> und <math>z=1\,</math>.

Version vom 15:36, 18. Mai 2009

Wenn wir die Gleichung für \displaystyle w=\frac{z+i}{z-i} lösen, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2=-1\,\textrm{.}

wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,

\displaystyle w=\left\{\begin{align}

-i\,,&\\[5pt] i\,,& \end{align}\right.

also muss \displaystyle z die Gleichung

\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-i\quad or \displaystyle \quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.


  • \displaystyle (z+i)/(z-i)=-i:
Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,
\displaystyle z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}
und ziehen Alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
\displaystyle z+iz=-1-i\,\textrm{.}
Dies ergibt
\displaystyle z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}


  • \displaystyle (z+i)/(z-i)=i:
Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,
\displaystyle z+i=i(z-i)\,\textrm{.}
und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
\displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.}
Dies ergibt
\displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}


Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.

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