Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,
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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
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We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
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Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and the equation becomes
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und erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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which gives us that
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und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 28: Zeile 28:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values
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Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
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and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,
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Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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and the original variable z is
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und die Lösungen für z sind
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}

Version vom 15:31, 18. Mai 2009

Lösen wir die Gleichung für \displaystyle w=z-1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

\displaystyle w^4=-4\,\textrm{.}

Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.

\displaystyle \begin{align}

w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,, \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^4 &= 4\,,\\[5pt] 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),} \end{align} \right.

und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).} \end{align}\right.

Für \displaystyle n=0, 1, \displaystyle 2 und \displaystyle 3, nimmt das Argument \displaystyle \alpha verschiedene Werte an

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{3\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{5\pi}{4}\quadand\displaystyle \quad\frac{7\pi}{4}\,,

Während wir für andere \displaystyle n dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von \displaystyle 2\pi unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

\displaystyle w=\left\{\begin{align}

&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} 1+i\,,&\\[5pt] -1+i\,,&\\[5pt] -1-i\,,&\\[5pt] 1-i\,\textrm{,} \end{align}\right.

und die Lösungen für z sind

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&2+i\,,\\[5pt] &i\,,\\[5pt] &-i\,,\\[5pt] &2-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

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