3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Real and imaginary part
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* Real- und Imaginärteil
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* Addition and subtraction of complex numbers
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* Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
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* Complex conjugate
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* Komplexe Konjugation
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* Multiplication and division of complex numbers
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* Multiplikation und Division von komplexen Zahlen
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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* Simplify expressions that are constructed using complex numbers and the four arithmetic operations.
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* Solve first order complex number equations and simplify the answer.
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* Komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfachen.
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* Komplexe Gleichungen lösen, und die Antwort vereinfachen.
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== Introduction ==
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== Einführung ==
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The real numbers represent a complete set of numbers in the sense that they "fill" the real-number axis. Despite this, the set of real numbers does not contain the solutions of ''all'' possible algebraic equations. In other words, there are equations of the type
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Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen die keine Lösungen in den Reellen Zahlen haben. Gleichungen auf der Form
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
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that do not have a solution among the real numbers. For example, the equation <math>x^2+1=0</math> has no real solution, since no real number satisfies <math>x^2=-1</math>. However, if we can imagine <math>\sqrt{-1}</math> as the number that satisfies the equation <math>x^2=-1</math> and manipulate <math>\sqrt{-1}</math> just like any other number, it turns out that every algebraic equation does have solutions.
+
haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung <math>x^2+1=0</math> keine reellen Lösungen, nachdem keine reelle Zahl <math>x^2=-1</math> erfüllt. Wir können uns aber vorstellen dass wir <math>\sqrt{-1}</math> als die Zahl definieren die, die Gleichung <math>x^2=-1</math> erfüllt, und so rechnen als Wäre <math>\sqrt{-1}</math> eine normale Zahl.
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The number <math>\sqrt{-1}</math>, however, is a fairly strange object. We cannot go out into the world and measure <math>\sqrt{-1}</math> anywhere, or find something that is numerically <math>\sqrt{-1}</math>. Nonetheless, this number turns out to be very useful in many applications of mathematics.
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Obwohl die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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If we would like to find out the sum of the roots (solutions) of the equation <math>x^2-2x+2=0</math> we can first obtain the roots <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> and <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. These roots contain <math>\sqrt{-1}</math>. If we allow ourselves to do calculations containing <math>\sqrt{-1}</math>, we see that the sum of <math>x_1</math> and <math>x_2</math> turns out to be <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math>, which is an ordinary, familiar "real" number.
+
Wenn wir die Summer der Wurzeln (Lösungen) zur Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> ersuchen, finden wir zuerst die Wurzeln <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese Wurzeln enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir dass die Summen von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.
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Even though the answer to the problem was a "real" number, we found the "imaginary" number <math>\sqrt{-1}</math> useful in solving it.
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Obwohl die Antwort reell war, haben wir uns von der "imaginären" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet um die Antwort zu erhalten.
</div>
</div>
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== Definition of complex numbers==
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== Definition der komplexen Zahlen ==
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The terms "real" (for the ordinary, familiar positive and negative numbers, together with zero) and "imaginary" (for numbers like <math>\sqrt{-1}</math>) are actually pretty flawed in some ways (''all'' numbers are abstract human inventions, it could be argued). Nonetheless, this terminology, which reflects the unease and scepticism with which the mathematical community once viewed numbers like <math>\sqrt{-1}</math>, has stuck.
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Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas missweisend, nachdem alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis von Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.
-
The number <math>\sqrt{-1}</math> cannot be given an approximate decimal value, the way <math>\sqrt{2}</math> can; we have no choice but to write it as an unevaluated root (a ''surd''). For simplicity and economy, we usually represent this number by the symbol <math>i</math> (sometimes <math>j</math>). It is sometimes called the ''imaginary unit'', and any number of the form <math>b\,i</math>, where <math>b</math> is real, is known as an ''imaginary number''. We go on to define a ''complex number'' as an object that can be written in the form
+
Nachdem die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung ie zum Beispiel <math>\sqrt{2}</math> geschrieben werden kann, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit benennt man meistens <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form <math>b\,i</math>, wo <math>b</math> reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl auf der Form
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
where <math>a</math> and <math>b</math> are real numbers, and <math>i</math> satisfies <math>i^2=-1</math>.
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wo <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind, und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.
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If <math>a = 0</math> then the number is "purely imaginary". If <math>b = 0</math> the number is real. We can see that the real numbers are a subset of the complex numbers. The set of complex numbers is designated by '''C'''.
+
Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit '''C''' bezeichnen.
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For an arbitrary complex number one often uses the symbol <math>z</math>. If <math>z=a+bi</math>, where <math>a</math> and <math>b</math> are real, then <math>a</math> is the real part and <math>b</math> the imaginary part of <math>z</math>. One uses the following notation: <br\>
+
Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wo <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil, und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für dies verwendet man folgende Bezeichnungen; <br\>
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
When one calculates with complex numbers one treats them just like real numbers, but keeps track of the fact that <math>i^2=-1</math>.
+
Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man bedenkt dass <math>i^2=-1</math>.
-
==Addition and subtraction ==
+
==Addition und Subtraktion ==
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To add or subtract complex numbers one adds or subtracts the real and imaginary parts separately.
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Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man deren Real- und Imaginärteil je für sich.
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If <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> are two complex numbers then,
+
 
 +
Wenn <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> zwei komplexe Zahlen sind, dann ist,
<div class="regel">
<div class="regel">
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== Multiplication ==
+
== Multiplikation ==
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Complex numbers are multiplied in the same way as ordinary real numbers or algebraic expressions, with the extra condition that <math>i^2=-1</math>. Generally one has for two complex numbers <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> that
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Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur mit der extra Bedienung dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> dass
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
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== Complex conjugate ==
+
== Komplexe Konjugation ==
-
If <math>z=a+bi</math> then <math>\overline{z} = a-bi</math> is called the ''complex conjugate'' of <math>z</math> (the opposite is also true, that <math>z</math> is conjugate to <math>\overline{z}</math>). One obtains the relationships
+
Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> komplex konjugierte Zahl. (Der Gegensatz gilt auch, nämlich dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln;
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 118: Zeile 118:
</div>
</div>
-
but most importantly, using the difference of two squares rule, one obtains
+
Aber am wichtigsten, erhält man
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
i.e. that the product of a complex number and its conjugate is always real.
+
Das Produkt von zwei konjugiert komplexen Zahlen ist also immer reell.
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== Division ==
== Division ==
-
For the division of two complex numbers one multiplies the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator, thus getting a denominator which is a real number. Then, both the real and imaginary parts of the (new) numerator are divided by this number (the new denominator). In general, if <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math>:
+
Um den Quotient von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitern man den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner, wobei man einen reellen Nenner erhält. Wenn <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt generell:
<div class="regel">
<div class="regel">
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''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
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Determine the real number <math>a</math> such that the expression <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> becomes real.
+
Bestimmen Sie die reelle Zahl <math>a</math> sodass der Ausdruck <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> reell ist.
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<br\>
<br\>
<br\>
-
Multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator so that the expression can be written with separate real and imaginary parts.
+
Wir erweitern den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
-
If the expression is to be real , the imaginary part must be 0, ie.
+
Der Ausdruck ist reell wenn der Imaginärteil 0 ist, also
{{Abgesetzte Formel||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
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-
== Equations ==
+
== Gleichungen ==
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If the two complex numbers <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> are equal then it is not hard to show that both the real and imaginary parts must be equal (in other words, <math>a=c</math> and <math>b=d</math>). When you are looking for an unknown complex number <math>z</math> in an equation, you can either try to solve for the number <math>z</math> in the usual way, or insert <math>z=a+bi</math> in the equation and then compare the real and imaginary parts of the two sides of the equation with each other.
+
Wenn zwei komplexe Zahlen, <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gleich sind, müssend eren Real- und Imaginärteile gleich sein, und also ist <math>a=c</math> und <math>b=d</math>). Wenn man komplexe Gleichungen, mit der Unbekannten <math>z</math> löst, schreibt man oft <math>z=a+bi</math> und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung mit einander.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Solve the equation <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
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<br/>
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<br/>
-
Collect all <math>z</math> on the left-hand side by subtracting <math>z</math> from both sides
+
Wir sammeln alle <math>z</math>auf der linken Seite der Gleichung indem wir <math>z</math> von beiden Seiten subtrahieren
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{{Abgesetzte Formel||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}} and now subtract <math>1-i</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}}
 +
 
 +
Jetzt subtrahieren wir <math>1-i</math> von beiden Seiten,
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{{Abgesetzte Formel||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
-
This gives that <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
 
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<li> Solve the equation <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
+
Also ist <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
 +
 
 +
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
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Divide both sides by <math>-1-i</math> in order to obtain <math>z</math>
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Wir dividieren beide Zeiten durch <math>-1-i</math> un <math>z</math> zu erhalten.
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
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<li> Solve the equation <math>3iz-2i=1-z</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>3iz-2i=1-z</math>.
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<br/>
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Adding <math>z</math> and <math>2i</math> to both sides gives
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Wir addieren <math>z</math> und <math>2i</math> zu beiden Seiten, und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
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This gives
+
Dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
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<li> Solve the equation <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The equation contains both <math>z</math> as well as <math>\overline{z}</math> and therefore we assume <math>z</math> to be <math>z=a+ib</math> and solve the equation for <math>a</math> and <math>b</math> by equating the real and imaginary parts of both sides {{Abgesetzte Formel||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
+
Die Gleichung enthält <math>z</math> und <math>\overline{z}</math>. Deshalb ist es am einfachsten wenn wir annehmen dass <math>z=a+ib</math> und die Gleichung für <math>a</math> und <math>b</math> lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren. {{Abgesetzte Formel||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
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i.e.
+
Also
{{Abgesetzte Formel||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
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which gives
+
dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
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The answer is therefore, <math>z=2+i</math>.</li>
+
Die Antwort ist daher <math>z=2+i</math>.</li>
</ol>
</ol>
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'''Tipps fürs lernen '''
'''Tipps fürs lernen '''
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'''Bedenke folgendes:'''
+
'''Bedenken Sie folgendes:'''
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Calculations with complex numbers are done in the same way as with ordinary numbers with the additional information that <math>i^2=-1</math>.
+
Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur bedenkt man hier auch dass <math>i^2=-1</math>.
-
Quotients of complex numbers are simplified by multiplying the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.
+
Komplexe Brüche berechnet man indem man den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitert.
</div>
</div>

Version vom 18:51, 11. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Real- und Imaginärteil
  • Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation
  • Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfachen.
  • Komplexe Gleichungen lösen, und die Antwort vereinfachen.

Einführung

Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen die keine Lösungen in den Reellen Zahlen haben. Gleichungen auf der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung \displaystyle x^2+1=0 keine reellen Lösungen, nachdem keine reelle Zahl \displaystyle x^2=-1 erfüllt. Wir können uns aber vorstellen dass wir \displaystyle \sqrt{-1} als die Zahl definieren die, die Gleichung \displaystyle x^2=-1 erfüllt, und so rechnen als Wäre \displaystyle \sqrt{-1} eine normale Zahl. Obwohl die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.


Beispiel 1

Wenn wir die Summer der Wurzeln (Lösungen) zur Gleichung \displaystyle x^2-2x+2=0 ersuchen, finden wir zuerst die Wurzeln \displaystyle x_1=1+\sqrt{-1} und \displaystyle x_2=1-\sqrt{-1}. Diese Wurzeln enthalten \displaystyle \sqrt{-1}. Wenn wir ganz normal mit \displaystyle \sqrt{-1} rechnen, sehen wir dass die Summen von \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 \displaystyle 1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2 eine ganz normale reelle Zahl ist.

Obwohl die Antwort reell war, haben wir uns von der "imaginären" Zahl \displaystyle \sqrt{-1} verwendet um die Antwort zu erhalten.


Definition der komplexen Zahlen

Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1}) sind etwas missweisend, nachdem alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis von Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1} entstanden.

Nachdem die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung ie zum Beispiel \displaystyle \sqrt{2} geschrieben werden kann, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit benennt man meistens \displaystyle i (oder manchmal auch \displaystyle j). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form \displaystyle b\,i, wo \displaystyle b reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl auf der Form

\displaystyle z=a+bi\,\mbox{,}

wo \displaystyle a und \displaystyle b reelle Zahlen sind, und \displaystyle i die Gleichung \displaystyle i^2=-1 erfüllt.

Wenn \displaystyle a = 0 nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn \displaystyle b = 0 ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit C bezeichnen.

Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit \displaystyle z. Wenn \displaystyle z=a+bi, wo \displaystyle a und \displaystyle b reell sind, ist \displaystyle a der Realteil, und \displaystyle b der Imaginärteil von \displaystyle z. Für dies verwendet man folgende Bezeichnungen;

\displaystyle \begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man bedenkt dass \displaystyle i^2=-1.


Addition und Subtraktion

Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man deren Real- und Imaginärteil je für sich.

Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di zwei komplexe Zahlen sind, dann ist,

\displaystyle \begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

  1. \displaystyle (3-5i)+(-4+i)=-1-4i
  2. \displaystyle \bigl(\tfrac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{6}+3i\bigr) = \tfrac{1}{3}-i
  3. \displaystyle \frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10} = \frac{-9+9i}{10} = -0\textrm{.}9 + 0\textrm{.}9i


Multiplikation

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur mit der extra Bedienung dass \displaystyle i^2=-1. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di dass

\displaystyle z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3(4-i)=12-3i
  2. \displaystyle 2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i
  3. \displaystyle (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i
  4. \displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13
  5. \displaystyle (3+i)^2=3^2+2\times3i+i^2=8+6i
  6. \displaystyle i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1
  7. \displaystyle i^{23}=i^{22}\times i=(i^2)^{11}\times i=(-1)^{11}i=-i


Komplexe Konjugation

Wenn \displaystyle z=a+bi nennt man \displaystyle \overline{z} = a-bi die zu \displaystyle z komplex konjugierte Zahl. (Der Gegensatz gilt auch, nämlich dass \displaystyle z die konjugiert komplexe Zahl von \displaystyle \overline{z} ist). Man erhält dadurch folgende Regeln;

\displaystyle \begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}

Aber am wichtigsten, erhält man

\displaystyle z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}

Das Produkt von zwei konjugiert komplexen Zahlen ist also immer reell.


Beispiel 4

  1. \displaystyle z=5+i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z}=5-i\,.
  2. \displaystyle z=-3-2i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =-3+2i\,.
  3. \displaystyle z=17\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =17\,.
  4. \displaystyle z=i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =-i\,.
  5. \displaystyle z=-5i\qquad then \displaystyle \quad\overline{z} =5i\,.

Beispiel 5

  1. If \displaystyle z=4+3i one has
    • \displaystyle z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8
    • \displaystyle z-\overline{z} = 6i
    • \displaystyle z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25
  2. If for \displaystyle z one has \displaystyle \mathop{\rm Re} z=-2 and \displaystyle \mathop{\rm Im} z=1, one gets
    • \displaystyle z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4
    • \displaystyle z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i
    • \displaystyle z\, \overline{z} = (-2)^2+1^2=5


Division

Um den Quotient von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitern man den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner, wobei man einen reellen Nenner erhält. Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gilt generell:

\displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i

Beispiel 6

  1. \displaystyle \quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i
  2. \displaystyle \quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i
  3. \displaystyle \quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i

Beispiel 7

  1. \displaystyle \quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i} = \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}
    \displaystyle \quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{} = \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10} = \frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \quad\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i}{1-i}-\dfrac{2}{1-i}}{\dfrac{2i(2+i)}{(2+i)} + \dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}} = \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}
    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-i}{1-i}\times \frac{2+i}{-2+5i} = \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)} = \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(} \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}

Beispiel 8

Bestimmen Sie die reelle Zahl \displaystyle a sodass der Ausdruck \displaystyle \ \frac{2-3i}{2+ai}\ reell ist.

Wir erweitern den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.

\displaystyle \frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}

Der Ausdruck ist reell wenn der Imaginärteil 0 ist, also

\displaystyle 2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}


Gleichungen

Wenn zwei komplexe Zahlen, \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gleich sind, müssend eren Real- und Imaginärteile gleich sein, und also ist \displaystyle a=c und \displaystyle b=d). Wenn man komplexe Gleichungen, mit der Unbekannten \displaystyle z löst, schreibt man oft \displaystyle z=a+bi und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung mit einander.

Beispiel 9

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3z+1-i=z-3+7i.

    Wir sammeln alle \displaystyle zauf der linken Seite der Gleichung indem wir \displaystyle z von beiden Seiten subtrahieren
    \displaystyle 2z+1-i = -3+7i

    Jetzt subtrahieren wir \displaystyle 1-i von beiden Seiten,

    \displaystyle 2z = -4+8i\,\mbox{.}
    Also ist \displaystyle \ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle z(-1-i)=6-2i.

    Wir dividieren beide Zeiten durch \displaystyle -1-i un \displaystyle z zu erhalten.
    \displaystyle z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3iz-2i=1-z.

    Wir addieren \displaystyle z und \displaystyle 2i zu beiden Seiten, und erhalten
    \displaystyle 3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}

    Dies ergibt

    \displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}
  4. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2z+1-i=\bar z +3 + 2i.

    Die Gleichung enthält \displaystyle z und \displaystyle \overline{z}. Deshalb ist es am einfachsten wenn wir annehmen dass \displaystyle z=a+ib und die Gleichung für \displaystyle a und \displaystyle b lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren.
    \displaystyle 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i

    Also

    \displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}

    dies ergibt

    \displaystyle \left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}
    Die Antwort ist daher \displaystyle z=2+i.


Tipps fürs lernen

Bedenken Sie folgendes:

Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur bedenkt man hier auch dass \displaystyle i^2=-1.

Komplexe Brüche berechnet man indem man den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitert.