Lösung 2.3:2c

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If we use the definition of <math>\tan x</math> and write the integral as
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Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>}}
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we see that the numerator <math>\sin x</math> is the derivative of the denominator (apart from the minus sign). Hence, the substitution <math>u=\cos x</math> will work,
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Wir sehen hier dass der Zähler <math>\sin x</math> die (fast) Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> is only a primitive function in intervals in which <math>\cos x\ne 0</math>.
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Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion wenn <math>\cos x\ne 0</math>.

Version vom 18:10, 5. Mai 2009

Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir

\displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx

Wir sehen hier dass der Zähler \displaystyle \sin x die (fast) Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align}

\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion wenn \displaystyle \cos x\ne 0.

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