Lösung 2.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 2.3:2a moved to Lösung 2.3:2a: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Had the integral instead been
+
Wäre das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}
-
it is quite obvious that we would substitute <math>u=\sqrt{x}</math>, but we are missing a factor <math>1/2\sqrt{x}</math> which would take account of the derivative of <math>u</math> which is needed when <math>dx</math> is replaced by
+
würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir
-
<math>du</math>. In spite of this, we can try the substitution <math>u=\sqrt{x}</math> if we multiply top and bottom by what is missing,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 16: Zeile 15:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Now, we obtain instead another, not entirely simple, integral, but we can calculate the new integral by partial integration (<math>2u</math> is the factor that we differentiate and <math>e^{u}</math> is the factor that we integrate),
+
Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten, und <math>e^{u}</math> integrieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 26: Zeile 25:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
If we substitute back <math>u=\sqrt{x}</math>, we obtain the answer
+
Substituieren wir jetzt <math>u=\sqrt{x}</math> zurück, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
-
As can be seen, it is possible to mix different integration techniques and often we need to experiment with different approaches before we find the right one.
+
Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal, und es ist nicht immer ganz offenbar wie man beginnen soll.

Version vom 17:11, 5. Mai 2009

Wäre das Integral

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx

würden wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}. Indem wir den Bruch mit dem Faktor \displaystyle 2\sqrt{x} erweitern, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int e^{\sqrt{x}}\,dx &= \int e^{\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\\[5pt] &= \left\{\begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)'\,dx = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int e^{u}\cdot 2u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir \displaystyle 2u ableiten, und \displaystyle e^{u} integrieren,

\displaystyle \begin{align}

\int e^u\cdot 2u\,du &= e^u\cdot 2u - \int e^u\cdot 2\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt] &= 2(u-1)e^u + C\,\textrm{.} \end{align}

Substituieren wir jetzt \displaystyle u=\sqrt{x} zurück, erhalten wir

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}

Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal, und es ist nicht immer ganz offenbar wie man beginnen soll.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.3:2a“