Lösung 2.3:1b

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If we look at the formula for integration by parts,
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Die Formel für partielle Integration lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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we see that if we choose <math>f(x)=\sin x</math> and <math>g(x)=x+1</math>, then the factor <math>g(x)</math> will be differentiated to a constant on the right-hand side of the integral. Naturally, this presupposes that we can find a primitive function for <math>f(x)</math> (which we can) and that we can then integrate it. Let's try!
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und wir wählen hier <math>f(x)=\sin x</math> und <math>g(x)=x+1</math>, nachdem die Ableitung von <math>g(x)</math> nur eine Konstante ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 15:47, 5. Mai 2009

Die Formel für partielle Integration lautet

\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,

und wir wählen hier \displaystyle f(x)=\sin x und \displaystyle g(x)=x+1, nachdem die Ableitung von \displaystyle g(x) nur eine Konstante ist.

\displaystyle \begin{align}

\int (x+1)\sin x\,dx &= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \sin x + C\,\textrm{.} \end{align}

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