Lösung 2.2:3c

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It is simpler to investigate the integral if we write it as
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Wir schreiben zuerst das Integral wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,</math>}}
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The derivative of <math>\ln x</math> is <math>1/x</math>, so if we choose <math>u = \ln x</math>, the integral can be expressed as
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Nachdem die Ableitung von <math>\ln x</math>, <math>1/x</math> ist, machen wir die Substitution <math>u = \ln x</math>, und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, it seems that <math>u=\ln x</math> is a useful substitution,
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und also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 13:21, 5. Mai 2009

Wir schreiben zuerst das Integral wie

\displaystyle \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,

Nachdem die Ableitung von \displaystyle \ln x, \displaystyle 1/x ist, machen wir die Substitution \displaystyle u = \ln x, und erhalten so

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}

und also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir,

\displaystyle \begin{align}

\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.} \end{align}

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