Lösung 2.2:2a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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- | + | Wenn wir die Substition <math>u=5x</math> ausführen, erhalten wir ein schon bekanntes Integral, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align} | ||
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- | + | Hier haben wir <math>dx</math> mit <math>\tfrac{1}{5}\,du</math> ersetzt. Die Grenzen die wir erhalten sind <math>u=5\cdot 0=0</math> | |
- | + | und <math>u=5\cdot \pi = 5\pi\,</math>. | |
- | + | Wir erhalten das Integral, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | + | Hinweis: Zeichnen wir die Graphe von <math>y=\cos 5x</math>, sehen wir das die gesamte Fläche oberhalb der ''x''-Achse genauso groß ist wir die gesamte Fläche unterhalb der ''x''-Achse ist. | |
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Version vom 12:51, 5. Mai 2009
Wenn wir die Substition \displaystyle u=5x ausführen, erhalten wir ein schon bekanntes Integral,
\displaystyle \int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align}
u &= 5x\\[5pt] du &= (5x)'\,dx = 5\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du\,\textrm{.} |
Hier haben wir \displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{5}\,du ersetzt. Die Grenzen die wir erhalten sind \displaystyle u=5\cdot 0=0 und \displaystyle u=5\cdot \pi = 5\pi\,.
Wir erhalten das Integral,
\displaystyle \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.} |
Hinweis: Zeichnen wir die Graphe von \displaystyle y=\cos 5x, sehen wir das die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse genauso groß ist wir die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse ist.