Lösung 2.1:2d
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| - | + | Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math>, und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Jetzt verwenden wir dass die Stammfunktion von <math>x^{n}</math>, <math>x^{n+1}/(n+1)</math> ist, und berechnen das Integral | |
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Version vom 16:50, 28. Apr. 2009
Wir schreiben \displaystyle \sqrt{x} wie \displaystyle x^{1/2}, und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten
| \displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.} |
Jetzt verwenden wir dass die Stammfunktion von \displaystyle x^{n}, \displaystyle x^{n+1}/(n+1) ist, und berechnen das Integral
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt] &= 1\,\textrm{.} \end{align} |
