Lösung 2.1:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The foremost difficulty with calculating an integral is finding a primitive function of the integrand. Once we have done that, the integral is calculated as the difference between the primitive function's values in the upper and lower limits of integration.
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Die Schwierigkeit in der Integralrechnung, liegt darin eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren
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The integrand in our case consists of two terms in the form <math>x^n</math>, and so we can use the rule
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Nachdem unser Integrand auf der Form <math>x^n</math> ist, können wir die Regel
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
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on the terms individually to obtain that
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für jeden Term benutzen,
{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
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is a primitive function of the integrand.
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Der Wert des Integrals ist daher
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The integrand's value is thus
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: One way to check that <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> is a primitive function of the integral is to differentiate <math>F(x)</math> and to see that we obtain
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Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von den Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= x^2+3x^3
&= x^2+3x^3
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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as the integrand.
 

Version vom 16:40, 28. Apr. 2009

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung, liegt darin eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren

Nachdem unser Integrand auf der Form \displaystyle x^n ist, können wir die Regel

\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C

für jeden Term benutzen,

\displaystyle F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}

Der Wert des Integrals ist daher

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\ &= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt] &= \frac{44}{3}\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Wir können testen ob \displaystyle F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4 eine Stammfunktion von den Integrand ist, indem wir \displaystyle F(x) ableiten

\displaystyle \begin{align}

F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt] &= x^2+3x^3 \end{align}

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