Lösung 1.3:3e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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- | # | + | # Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder |
- | # | + | # Endpunkte. |
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- | + | Die Ableitung ist null wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, nachdem <math>e^x</math> immer größer aös null ist für alle <math>x</math>.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung. | |
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- | + | Also <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li> | |
- | <li> | + | <li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li> |
- | <li> | + | <li>Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li> |
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- | + | Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben. | |
- | + | Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen. | |
- | + | Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}} | ||
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- | + | Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und ein lokales Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>. |
Version vom 20:00, 26. Apr. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
- Endpunkte.
Wir untersuchen die einzelnen Fälle
- Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.
\displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{.} \end{align}
Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x^2+x-2=0 null ist, nachdem \displaystyle e^x immer größer aös null ist für alle \displaystyle x.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.
\displaystyle \begin{align} \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt] x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,, \end{align}
- Die Funktion besteht aus einen Polynom \displaystyle x^2-x-1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion \displaystyle e^x. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
- Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.
Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten \displaystyle x=-3, \displaystyle x=-2, \displaystyle x=1 und \displaystyle x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.
Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,, |
nachdem \displaystyle x^2+x-2 die Wurzeln \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.
\displaystyle x | \displaystyle -3 | \displaystyle -2 | \displaystyle 1 | \displaystyle 3 | |||
\displaystyle x+2 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
\displaystyle x-1 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + |
\displaystyle e^x | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.
\displaystyle x | \displaystyle -3 | \displaystyle -2 | \displaystyle 1 | \displaystyle 3 | |||
\displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | ||
\displaystyle f(x) | \displaystyle 11e^{-3} | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 5e^{-2} | \displaystyle \searrow | \displaystyle -e | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 5e^3 |
Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1, und ein lokales Maxima in den Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.