Lösung 1.3:2a

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A function has its local extreme points at the following types of points:
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# points where the function is not differentiable, and
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# Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# endpoints of the interval of definition.
+
# Endpunkte.
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We investigate these cases for our function:
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Wir untersuchen alle drei Fälle.
<ol>
<ol>
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<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
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and becomes zero when <math>2x-2=0</math>, i.e <math>x=1\,</math>.</li>
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und ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also wenn <math>x=1\,</math>.</li>
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<li>Because the function is a polynomial, it is differentiable everywhere.</li>
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<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>
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<li>The function is defined regardless of the value of ''x'', which means that the interval of definition is the whole real axis, and there are therefore no endpoints.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
</ol>
</ol>
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The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus <math>x=1\,</math>. In order to determine whether the point is a local extreme point, we investigate the derivative using a sign table.
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=1\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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Nachdem die Ableitung lings von <math>x=1</math> negativ ist, und rechts von <math>x=1</math> positiv ist, ist <math>x=1</math> ein lokales Minima.
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Because the derivative is negative to the left of <math>x=1</math> and positive to the right of <math>x=1</math>, then <math>x=1</math> is a local minimum.
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Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
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The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph.
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[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

Version vom 15:26, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2
    und ist null wenn \displaystyle 2x-2=0, also wenn \displaystyle x=1\,.
  2. Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist \displaystyle x=1\, der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

\displaystyle x \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow

Nachdem die Ableitung lings von \displaystyle x=1 negativ ist, und rechts von \displaystyle x=1 positiv ist, ist \displaystyle x=1 ein lokales Minima.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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