Lösung 2.2:4a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | + | Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}} | ||
| - | + | Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner \displaystyle x^2+4 statt \displaystyle x^2+1 ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
| \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,} |
Durch die Substitution \displaystyle u=\tfrac{1}{2}x erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1} &= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1} = \left\{\begin{align} u &= x/2\\[5pt] du &= \tfrac{1}{2}\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1} = \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan u + C = \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} \end{align} |
