Lösung 1.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.
Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung
Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung
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Die Funktion hat also die stationären Puntke <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
Die Funktion hat also die stationären Puntke <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
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Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extrempunkte.
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Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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Die Funktion hat also ein lokales Maximum in <math>x=-2</math> und ein lokales Minimum in <math>x=1</math>.
Die Funktion hat also ein lokales Maximum in <math>x=-2</math> und ein lokales Minimum in <math>x=1</math>.
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Berechnen wir die Funktionswerte in einigen Punkten, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.
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Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.
[[Image:1_3_2_c.gif|center]]
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Version vom 11:25, 9. Sep. 2009

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}

Dividieren wir durch 6 erhalten wir durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 = 0\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}

mit den Lösungen

\displaystyle \begin{align}

x &= -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} = -2\,,\\[5pt] x &= -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 1\,\textrm{.} \end{align}

Die Funktion hat also die stationären Puntke \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 21 \displaystyle \searrow \displaystyle -6 \displaystyle \nearrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum in \displaystyle x=-2 und ein lokales Minimum in \displaystyle x=1.

Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.

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