1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Einführung ==
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In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen wie sich eine Funktion verändert, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.
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In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen, wie sich eine Funktion verändert, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen;
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen;

Version vom 22:06, 5. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normale.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Dass die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) einer Funktion die Steigung von \displaystyle y=f(x) im Punkt \displaystyle x=a ist.
  • Dass die Ableitung eine momentane Veränderung einer Funktion beschreibt.
  • Dass die Ableitung nicht immer definiert ist, sowie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert im Punkt \displaystyle x=0).
  • \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen von solchen Funktionen ableiten.

Die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmen.

  • Wissen, dass die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) oder \displaystyle df/dx(x) geschrieben wird.

Einführung

In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen, wie sich eine Funktion verändert, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen;

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.



[Image]

[Image]

Graph of f(x) = x hat die Steigung  1. Graph of g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto gefahren ist wie \displaystyle s(t)=80 t schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesen Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0.

  1. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 1 bis \displaystyle x = 2 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} 
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} 
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} 
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl Sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.



Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein, und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q näher und näher den Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f(x) im Punkt P.

Die Ableitung von \displaystyle f(x) schreibt man \displaystyle f^{\,\prime}(x) und wird definiert als:

Die Ableitung von \displaystyle f(x), ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) 
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Falls \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f(x) differenzierbar im Punkt \displaystyle x=x_0 ist.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) zunehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) abnehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet dass \displaystyle f(x) waagrecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet dass der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist wenn \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ 3 ist wenn \displaystyle x=2, und also ist die Steigung der Funktion \displaystyle 3 wenn \displaystyle x=2.

Beispiel 4

Von der Figur können wir folgendes erhalten

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Deuten Sie folgende mathematische Begriffe:

    \displaystyle T(10)=80

  1. Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.

    \displaystyle T'(2)=-3
  2. Nach 2 Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab

    (Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist im Punkt \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert, oder nicht definiert ist.

[Image]

Graphe der Funktion f(x) = |x|


Ableitungen von Funktionen

Mit der Definition der Ableitung einer Funktion, kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} 
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x im Punkt x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Ähnlich kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle D(f(x) +g(x)) 
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle D(k \, f(x)) 
 = k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} 
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0.Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad 
 \text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für einen Hersteller von \displaystyle x Gegenständen ist

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad 
 \text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechnen und deuten Sie folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2 = 83104\,.
    Der totale Kosten um 120 Gegenstände herzustellen ist 83104 Euro.
  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120 
           \approx 348\textrm{.}
    Der Grenzkosten (der Kosten um noch eine extra Einheit zu produzieren) ist ungefähr 348 Euro.


Tangenten und Normale

Eine Tangente ist eine Gerade tangential zur Kurve ist.

Ein Normal ist eine Gerade die winkelrecht zu der Kurve ist, und daher auch winkelrecht zur Tangente ist.

Für winkelrechte Geraden ist der Produkt deren Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung des Normals \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Nachdem wir die Tangente durch der Ableitung bestimmen können, können wir auch den Normal durch Ableitung bestimmen.


Beispiel 13

Bestimmen Sie die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 tangiert, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad 
 m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung des Normals ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht der Normal durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und also ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\times 1 + m 
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Der Normal ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


[Image]

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Tangente \displaystyle y=2x Normal \displaystyle y=(5-x)/2


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimmen Sie die Stelle wo die Kurve die Tangente tangiert.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3, und der Punkt muss die Ableitung \displaystyle -1 haben, also \displaystyle y' = -1, und wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. Im Punkt \displaystyle x=0 Hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2, und daher ist der erragte Punkt \displaystyle (0,2).

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