Lösung 3.3:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch den Moivreschen Gesetz erhalten wir
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Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
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2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
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2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
r &= 1\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
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\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
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\end{align}\right.</math>}}
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Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
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Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
Die Wurzeln sind daher
Die Wurzeln sind daher

Version vom 09:37, 23. Aug. 2009

Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,, \end{align}

Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir

\displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich wenn

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^2 &= 1\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),} \end{align}\right.

und wir erhalten dadurch

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

Wenn \displaystyle n=0 und \displaystyle n=1, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere \displaystyle n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Multipel von \displaystyle 2\pi im Argument unterscheiden.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt] &-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

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