Lösung 3.3:2e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | dessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen, | |
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align} | ||
| Zeile 12: | Zeile 12: | ||
also muss <math>z</math> die Gleichung | also muss <math>z</math> die Gleichung | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}} |
erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich. | erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich. | ||
Version vom 21:24, 22. Aug. 2009
Wenn wir die Gleichung für \displaystyle w=\frac{z+i}{z-i} lösen, erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle w^2=-1\,\textrm{.} |
dessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,
| \displaystyle w=\left\{\begin{align}
-i\,,&\\[5pt] i\,,& \end{align}\right. |
also muss \displaystyle z die Gleichung
| \displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-i\quad oder \displaystyle \quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.} |
erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.
- \displaystyle (z+i)/(z-i)=-i:
- Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,
| \displaystyle z+i=-i(z-i)\,\textrm{.} |
- und ziehen Alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
| \displaystyle z+iz=-1-i\,\textrm{.} |
- Dies ergibt
| \displaystyle z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.} |
- \displaystyle (z+i)/(z-i)=i:
- Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,
| \displaystyle z+i=i(z-i)\,\textrm{.} |
- und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
| \displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.} |
- Dies ergibt
| \displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.} |
Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.
