Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten, und erhalten
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
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5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
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5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden, und trotzdem dieselbe komplexe Zahl entsprechen.)
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(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)
Wir erhalten also
Wir erhalten also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
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\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Wir sehen dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt
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Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> and <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}
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Nachdem sich die Winkeln dann wiederholen.
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Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.
Die Wurzeln sind also
Die Wurzeln sind also

Version vom 21:19, 22. Aug. 2009

Wir bringen \displaystyle z und \displaystyle -1-i auf Polarform

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.


(Die Argumente \displaystyle 5\alpha und \displaystyle 5\pi/4 können sich mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)

Wir erhalten also

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

Wir sehen, dass das Argument \displaystyle \alphanur 5 verschiedene Werte annimmt

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad und \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}

Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

\displaystyle z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,

für \displaystyle n=0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 und \displaystyle 4.

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