Lösung 3.2:6e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Können wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir
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Können wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren, und die Argumente subtrahieren.
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If we manage to write the numerator and denominator in polar form, we can then use the fact that when division is carried out in polar form it is particularly simple. Division means, namely, that the numerator's magnitude is divided by the denominator's magnitude and that the numerator's argument is subtracted from denominator's argument or, in written form,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, we determine the numerator's and denominator's polar forms:
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Daher schreiben wir den Zähler und den nenner auf Polarform:
[[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
[[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
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Now, we obtain
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und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 14:57, 13. Mai 2009

Können wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren, und die Argumente subtrahieren.

\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}

Daher schreiben wir den Zähler und den nenner auf Polarform:

Image:3_2_6_e_bild.gif Image:3_2_6_e_bildtext.gif

und erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}

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