Lösung 2.3:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>}} | ||
| - | Wir sehen hier dass der Zähler <math>\sin x</math> die (fast) Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>, | + | Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> die (fast) Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>, |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Version vom 11:12, 22. Aug. 2009
Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir
| \displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx |
Wir sehen hier, dass der Zähler \displaystyle \sin x die (fast) Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x,
| \displaystyle \begin{align}
\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C\,\textrm{.} \end{align} |
Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion wenn \displaystyle \cos x\ne 0.
