Lösung 2.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Die Formel für partielle Integration lautet
Die Formel für partielle Integration lautet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx</math>.}}
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und wir wählen hier <math>f(x)=\sin x</math> und <math>g(x)=x+1</math>, nachdem die Ableitung von <math>g(x)</math> nur eine Konstante ist.
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Wir wählen hier <math>f(x)=\sin x</math> und <math>g(x)=x+1</math>, nachdem die Ableitung von <math>g(x)</math> nur eine Konstante ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt]
&= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt]
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&= -(x+1)\cos x + \sin x + C\,\textrm{.}
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&= -(x+1)\cos x + \sin x + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die Formel für partielle Integration lautet

\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx.

Wir wählen hier \displaystyle f(x)=\sin x und \displaystyle g(x)=x+1, nachdem die Ableitung von \displaystyle g(x) nur eine Konstante ist.

\displaystyle \begin{align}

\int (x+1)\sin x\,dx &= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \sin x + C \end{align}

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