2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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und sehen dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben, und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>. Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Variable) mit den einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann verwendet werden wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
und sehen dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben, und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>. Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Variable) mit den einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann verwendet werden wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
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''Hinweis'' Die Voraussetzung um die Integration durch Substitution zu verwenden ist dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.
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''Note 1'' The method is based on the assumption that all the conditions for integration are satisfied; that is, <math>u(x)</math> is differentiable in the interval in question, and that <math>f</math> is continuous for all values of <math>u</math> in the range, that is, for all the values that <math>u</math> can take on in the interval.
 
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'' Note 2'' Replacing <math>u'(x) \, dx</math> with <math>du</math> also may be justified by studying the transition from the increment ratio to the derivative:
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}</math>}}
 
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which, as <math>\Delta x</math> goes towards zero can be considered as a formal transition between variables
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
 
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ie., a small change, <math>dx</math>, in the variable <math>x</math> gives rise to an approximate change <math>u'(x)\,dx</math> in the variable <math>u</math>.
 
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Determine the integral<math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
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Berechnen Sie das Integral <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
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If one puts <math>u(x)= x^2</math>, one gets <math>u'(x)= 2x</math>. The variable substitution replaces <math>e^{x^2}</math> with <math>e^u</math> and <math>u'(x)\,dx</math>, i.e. <math>2x\,dx</math>, with <math>du</math>
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Wenn wir die Substitution <math>u(x)= x^2</math> machen, erhalten wir <math>u'(x)= 2x</math>. Durch die Substitution wird <math>e^{x^2}</math>, <math>e^u</math> und <math>u'(x)\,dx</math>, also <math>2x\,dx</math> wird <math>du</math>
{{Abgesetzte Formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \times 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \times 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
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Determine the integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx</math>.
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Put <math>u=x^3 + 1</math>. This means <math>u'=3x^2</math>, or <math>du= 3x^2\, dx</math>, and
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Wir substituieren, <math>u=x^3 + 1</math>.Dies ergibt <math>u'=3x^2</math>, oder <math>du= 3x^2\, dx</math>, und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \times 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \times 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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Determine the integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> where <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
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Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> wo <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
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After rewriting <math>\tan x</math> as <math>\sin x/\cos x</math> we substitute <math>u=\cos x</math>,
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Wir schreiben <math>\tan x</math> wir <math>\sin x/\cos x</math> machen die Substitution <math>u=\cos x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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== The limits of integration during variable substitution. ==
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== Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==
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When calculating definite integrals, such as an area, one can go about using variable substitution in two ways. Either one can calculate the integral as usual and then switch back to the original variable and insert the original limits of integration. Alternatively one can change the limits of integration simultaneously with the variable substitution. The two methods are illustrated in the following example.
+
Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden um mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder berechnet man das Integral, und ersetzt danach die neue Variable mit der alten, oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Berechnen Sie das Integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
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Determine the integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
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'' Method 1''
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'' Methode 1''
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Put <math>u=e^x</math> which gives that <math>u'= e^x</math> and <math>du= e^x\,dx</math>
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\,dx</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
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Note that the limits of integration must be written in the form <math>x = 0</math> and <math>x = 2</math> when the variable of integration is not <math>x</math>. it is wrong to write
+
Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie <math>x = 0</math> und <math>x = 2</math> schreiben, nachdem <math>x</math> nicht die Intagrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}</math>}}
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'' Method 2''
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'' Methode 2''
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Put <math>u=e^x</math> which gives that <math>u'= e^x</math> and <math>du= e^x\, dx</math>. The limit of integration <math>x=0</math> is equivalent to <math>u=e^0 = 1</math> and <math>x=2</math> is equivalent to <math>u=e^2</math>
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenze <math>x=0</math> entspricht <math>u=e^0 = 1</math> und <math>x=2</math> entspricht <math>u=e^2</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
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Determine the integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
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Bestimmen Sie das Integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
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The substitution <math>u=\sin x</math> gives <math>du=\cos x\,dx</math> and the limits of integration become <math>u=\sin 0=0</math> and <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. The integral is
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Durch die Substitution <math>u=\sin x</math> erhalten wir <math>du=\cos x\,dx</math> und die Integrationsgrenzen sind daher <math>u=\sin 0=0</math> und <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Das Integral ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
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<center>{{:2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³}}</center>
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||<small> The figure on the left shows the graph of the integrand sin³''x'' cos ''x'' and the figure on the right the graph of integrand ''u''³ which is obtained after the variable substitution. The change of variable modifies the integrand and the interval of the integration. The integrals value, the size of the area, is not changed however. </small>
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||<small> Das linke Bild zeigt die Funktion sin³''x'' cos ''x'' und die rechte Figur zeigt die Funktion ''u''³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht. </small>
|}
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
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Examine the following calculation
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Betrachten Sie folgende Rechnungen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
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This calculation, however, is wrong, which is due to the fact that <math>f(u)=1/u^2</math> is not continuous '''throughout''' the interval <math>[-1,1]</math>.
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Diese Rechnung ist aber falsch, nachdem <math>f(u)=1/u^2</math> nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (nicht wenn <math>x=0</math>).
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A necessary condition in the theory is that <math>f(u(x))</math> be defined and continuous for all values which <math>u(x)</math> can take in the interval in question. Otherwise one cannot be certain that the substitution <math>u=u(x)</math> will work.
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Es ist notwendig dass die Funktion <math>f(u(x))</math> überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution <math>u=u(x)</math> nicht gültig sein.
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Version vom 12:45, 30. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Die Herleitung der Formel für die Integration durch Substitution verstehen.
  • Integrale mit Integration durch Substitution lösen.
  • Know how the limits of integration are to be changed after a variable substitution.
  • Know when substitution is allowed.

Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann auf Integralform geschrieben werden:

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

oder,

\displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

Wo F eine Stammfunktion von f ist. Wir vergleichen diese Frmel mit der normalen Intagrationsformel

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}

und sehen dass wir die Variable \displaystyle u(x) mit der Variable \displaystyle u ersetzt haben, und den Term \displaystyle u'(x)\, dx mit \displaystyle du. Daher kann man den komplizierteren Integranden \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ersetzen (mit \displaystyle x als Variable) mit den einfacheren Ausdruck \displaystyle f(u) (mit \displaystyle u als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann verwendet werden wenn der Integrand auf der Form \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ist.

Hinweis Die Voraussetzung um die Integration durch Substitution zu verwenden ist dass \displaystyle u(x) im Intervall differenzierbar ist, für alle \displaystyle u im Intervall.


Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u(x)= x^2 machen, erhalten wir \displaystyle u'(x)= 2x. Durch die Substitution wird \displaystyle e^{x^2}, \displaystyle e^u und \displaystyle u'(x)\,dx, also \displaystyle 2x\,dx wird \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \times 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx.

Wir substituieren, \displaystyle u=x^3 + 1.Dies ergibt \displaystyle u'=3x^2, oder \displaystyle du= 3x^2\, dx, und daher ist

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \times 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ wo \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Wir schreiben \displaystyle \tan x wir \displaystyle \sin x/\cos x machen die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}


Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden um mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder berechnet man das Integral, und ersetzt danach die neue Variable mit der alten, oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechnen Sie das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Methode 1

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\,dx

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}

Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie \displaystyle x = 0 und \displaystyle x = 2 schreiben, nachdem \displaystyle x nicht die Intagrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}


Methode 2

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx. Die Integrationsgrenze \displaystyle x=0 entspricht \displaystyle u=e^0 = 1 und \displaystyle x=2 entspricht \displaystyle u=e^2

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachten Sie folgende Rechnungen:

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Diese Rechnung ist aber falsch, nachdem \displaystyle f(u)=1/u^2 nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (nicht wenn \displaystyle x=0).

Es ist notwendig dass die Funktion \displaystyle f(u(x)) überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution \displaystyle u=u(x) nicht gültig sein.

[Image]

Graph of f(u) = 1/u²
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