Lösung 2.1:4d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \text{ | + | \text{Fläche} |
| - | &= \text{( | + | &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] |
&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] | &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] | ||
&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} | &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Version vom 18:59, 28. Apr. 2009
Wir zeichnen die Kurven.
Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir dass die Fläche unten von der Geraden \displaystyle y=1 begrenzt ist, und oben von den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x\,.
Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b, wo die obere Grenze \displaystyle y=x+2 ist, und eine zwischen \displaystyle x=b und \displaystyle x=c wo \displaystyle y=1/x die obere Grenze ist.
Die Flächen dieser Gebiete ist
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,, \end{align} |
und die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.
Wir suchen also die Schnittstellen:
- \displaystyle x=a: Die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:
| \displaystyle \left\{\begin{align}
y &= 1\,,\\[5pt] y &= x+2\,\textrm{.} \end{align}\right. |
- Dies ergibt \displaystyle x+2=1, und also \displaystyle x=-1\,. Daher ist \displaystyle a=-1\,.
- \displaystyle x=b: Die Schnittstelle von \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x erfüllt beide Gleichungen:
| \displaystyle \left\{\begin{align}
y &= x+2\,,\\[5pt] y &= 1/x\,\textrm{.} \end{align}\right. |
- Eliminieren wir \displaystyle y. erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle x,
| \displaystyle x+2=\frac{1}{x}\,, |
- die wir mit \displaystyle x multiplizieren,
| \displaystyle x^{2}+2x=1\,\textrm{.} |
- Quadratische Ergänzung ergibt:
| \displaystyle \begin{align}
(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,,\\[5pt] (x+1)^2 &= 2\,, \end{align} |
- Die Wurzeln sind daher \displaystyle x=-1\pm \sqrt{2}, und dies ergibt
\displaystyle b=-1+\sqrt{2}. (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)
- \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, und also ist \displaystyle x=1\,, und daher \displaystyle c=1\,.
Die Teilflächen sind also
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,,\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
und die gesamte Fläche ist
| \displaystyle \begin{align}
\text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
