Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Wir sehan dass die Funktion ein Parabel mit den Maxima <math>y=3</math> wenn <math>x=1</math> ist.	+	Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum <math>y=3</math> bei <math>x=1</math> ist.
	[[Image:2_1_4_b.gif|center]]		[[Image:2_1_4_b.gif|center]]
-	die Fläche die wir bestimmen soll ist im Bild geschattet.	+	die Fläche die wir bestimmen sollen, ist im Bild schrafiert.
-	Diese Fläche bestimmen wir mit den Integral	+	Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}
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	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}}
-	oder auch	+	also
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}}
-	Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\,</math>, und also <math>x=1-\sqrt{3}</math> und <math>x=1+\sqrt{3}\,</math>.	+	Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\</math> , <math>x=1-\sqrt{3}</math> und <math>x=1+\sqrt{3}\</math>.
	Die Fläche ist also		Die Fläche ist also
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-	Wir schreiben hier den Integranden in der quadratisch ergänzten Form.	+	Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}}
-	Wir erhalten die die Stammfunktion,	+	So erhalten wir die Stammfunktion
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}
-	und daher erhalten wir	+	und daher
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\text{Area} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt]	+	\text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt]
	&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt]		&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt]
	&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]		&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]
Zeile 56:		Zeile 56:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Hinweis: Die Rechnungen werden unständiger wenn wir mit den Ausdruck	+	Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}}
	rechnen.		rechnen.

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Version vom 22:23, 21. Aug. 2009

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt] &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] &= -(x-1)^2 + 3 \end{align}

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle y=3 bei \displaystyle x=1 ist.

die Fläche die wir bestimmen sollen, ist im Bild schrafiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,

Wo a und b die Schnittstellen von der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

\displaystyle 0=-x^{2}+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben),

\displaystyle 0=-(x-1)^2+3

also

\displaystyle (x-1)^2=3\,\textrm{.}

Die Gleichung hat also die Wurzeln \displaystyle x = 1\pm \sqrt{3}\ , \displaystyle x=1-\sqrt{3} und \displaystyle x=1+\sqrt{3}\.

Die Fläche ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,

So erhalten wir die Stammfunktion

\displaystyle \text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}

und daher

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt] &= 4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

\displaystyle \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots

rechnen.