Lösung 2.1:2d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> | + | Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Die Stammfunktion von <math>x^{n}</math> ist <math>x^{n+1}/(n+1)</math> und damit berechnen das Integral. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] | &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] | ||
&= -\frac{2}{2}+2\\[5pt] | &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt] | ||
| - | &= 1 | + | &= 1 |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir schreiben \displaystyle \sqrt{x} wie \displaystyle x^{1/2} und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten
| \displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.} |
Die Stammfunktion von \displaystyle x^{n} ist \displaystyle x^{n+1}/(n+1) und damit berechnen das Integral.
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt] &= 1 \end{align} |
