2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 17:53, 27. Apr. 2009

Die Fläche unter einer Funktion

Wir haben im voriegen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert, und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesen Abschnitt werden wir sehen dass die Fläche zwischen der x-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen können wir z.B die drei fälle unten erhalten:

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

 s(6) = 4\times 3 + 6\times 3 = 30\,\mbox{m},\quad
 s(6) = \frac{6\times 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter den Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige beispiele gezeigt, was die Fläche unter einer Graph bedeuten kann.

Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,:

 = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Stammfunktionen und Unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist, für einen beliebigen Konstanten \displaystyle C. Man kann auch zeigen dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral benannt, und man schreibt

Verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen

Wir haben schon entdeckt dass die Fläche unter einer Funktion das Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an dass \displaystyle f kontinuierlich in einen Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ beruht dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird der Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

Wir werden jetzt zeigen dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle t=x plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck wie

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0 bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x) und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) , und also ist

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).

Integrale Rechnen

Um die mit Hilfe der Stammfunktionen das Integrale zu berechnen, notieren wir zuerst dass wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, ist

wo die Konstante \displaystyle C so gewählt werden muss dass die rechte Seite null ist wenn \displaystyle b=a und die linke Seite also null auch ist. Also ist

und wir erhalten \displaystyle C=-F(a). Wenn wir zusammenfassen, haben wir, dass

 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen, und erhalten dann

 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die rechnung von Integralen geschieht in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion, und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt meistens,

 = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten gibt es generelle Ableitungsregeln. Das umgekehrte ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt.

Durch den bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen,

Für die innere Ableitung kompensieren

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung von so einer Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Diese Methode funktioniert also nur dann wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.

Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen dass:

1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Weiterhin haben Integrale wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, aber sind ansonsten gleich:

Die gesamte Fläche ist \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Hinweis . Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.

Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einen Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesen Intervall

 - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

Es spielt keine Rolle ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird in der Figur hier gezeigt:

 \quad\text{and}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}

 \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}