Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv.
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Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,
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<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The derivative is zero when the numerator is zero and this gives us the equation
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Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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The left-hand side is zero when one of the factors, <math>x</math> or <math>1-2x^2-x^4</math> is zero, i.e. either <math>x=0</math> or
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Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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The last equation is a second-degree equation in <math>x^2</math>, which is perhaps simpler to see if we substitute <math>t=x^{2}</math>,
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Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
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The solutions are obtained by completing the square,
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Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and are <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. It is only one of these solutions,
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und die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv, und kann also <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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<math>t=-1+\sqrt{2}</math>,that is positive and can be equal to <math>x^2\,</math>.
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The function has therefore three critical points, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
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Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
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<math>x=0</math> and <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.
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<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.
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We can determine the character of the critical points by writing down the sign of its derivative. It is useful to write down the derivative in an appropriately factorized form first. We know already that
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Wir bestimmen deren Charakter indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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and by completing the square of the expression <math>1-2x^2-x^4</math> with respect to <math>x^{2}</math>,
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> in Bezug auf <math>x^{2}</math> erhalten wir,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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we can write the derivative in the form
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Die Ableitung ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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Faktoren
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where it is rather simple to determine the sign of the individual factors.
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wo wir einfach die Vorzeichen der einzelnen erhalten.
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Multiplizieren wir die einzelnen Faktoren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.
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If we multiply these factors together, we get an outline of the derivative's sign and can draw conclusions about whether the critical points are local maximum points, minimum points or neither.
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Die Funktion hat also ein lokales Maxima im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minima im Punkt <math>x=0</math>.
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The function has local maximum points at <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> and a local minimum at <math>x=0</math>.
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Version vom 19:46, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner \displaystyle 1+x^{4} ist, wird er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align}

Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}

Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren \displaystyle x oder \displaystyle 1-2x^2-x^4 null ist. Also ist \displaystyle x=0 oder

\displaystyle 1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten wenn wir \displaystyle t=x^{2} substituieren,

\displaystyle 1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt] (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt] (t+1)^2 &= 2\,, \end{align}

und die Lösungen sind \displaystyle t=-1\pm \sqrt{2}. Nur einer dieser Lösungen ist positiv, und kann also \displaystyle x^{2} sein. Also ist \displaystyle t=-1+\sqrt{2}=x^2\,.

Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, \displaystyle x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,.

Wir bestimmen deren Charakter indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}

und durch quadratische Ergänzung von \displaystyle 1-2x^2-x^4 in Bezug auf \displaystyle x^{2} erhalten wir,

\displaystyle \begin{align}

1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] &= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2 \end{align}

Die Ableitung ist also

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}

Faktoren wo wir einfach die Vorzeichen der einzelnen erhalten.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle 2x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Multiplizieren wir die einzelnen Faktoren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow \displaystyle 1 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maxima im Punkt \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minima im Punkt \displaystyle x=0.

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