Lösung 1.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3-2x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3-2x</math>}}
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and becomes zero when <math>x=3/2\,</math>.</li>
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und wird null für <math>x=3/2\,</math>.</li>
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<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>
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<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
</ol>
</ol>
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=3/2\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
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Also sind alle lokalen Extrema auch stationäre Punkte, somit ist <math>x=3/2\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
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Nachdem die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maxima <math>(3/2, 17/4)</math>.
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Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maximum <math>(3/2, 17/4)</math>.
[[Image:1_3_2_b.gif||center]]
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Version vom 15:27, 4. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x
    und wird null für \displaystyle x=3/2\,.


  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrema auch stationäre Punkte, somit ist \displaystyle x=3/2\, der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.


\displaystyle x \displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{17}{4} \displaystyle \searrow

Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maximum \displaystyle (3/2, 17/4).

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