1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können: | Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können: | ||
* Die Definitionen von steigend, streng steigend, fallend, streng fallend, lokales Maxima, globales Maxima, lokales Minima und globales Minima. | * Die Definitionen von steigend, streng steigend, fallend, streng fallend, lokales Maxima, globales Maxima, lokales Minima und globales Minima. | ||
| - | *Dass wenn <math>f^{\,\prime}>0</math> ist <math>f</math> streng steigend, und wenn <math>f^{\,\prime}<0</math> ist <math>f</math> | + | *Dass, wenn <math>f^{\,\prime}>0</math> ist <math>f</math> streng steigend, und wenn <math>f^{\,\prime}<0</math> ist <math>f</math> ist streng fallend. |
| - | * Stationäre Punkte zu finden | + | * Stationäre Punkte zu finden und deren Charakter zu bestimmen. |
* Kurven zeichnen mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung. | * Kurven zeichnen mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung. | ||
Globale Maxima und Minima einer Funktion zu finden. | Globale Maxima und Minima einer Funktion zu finden. | ||
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== Steigende und fallende Funktionen == | == Steigende und fallende Funktionen == | ||
| - | Man sagt dass eine Funktion steigend ist | + | Man sagt, dass eine Funktion steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist und fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist. |
| - | Die | + | Die formellen Definitionen lauten: |
| - | Eine Funktion f ist steigend in | + | Eine Funktion f ist steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall: |
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, | + | Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall: |
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt | + | Die Definition sagt uns also, dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein. |
Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' steigend und '''streng''' fallend: | Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' steigend und '''streng''' fallend: | ||
| - | Eine Funktion f ist '''streng''' steigend in einen bestimmten Intervall, | + | Eine Funktion f ist '''streng''' steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall: |
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Eine Funktion f ist '''streng''' fallend in | + | Eine Funktion f ist '''streng''' fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall: |
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li> Die Funktion <math>y= f(x)</math> | + | <li> Die Funktion <math>y= f(x)</math> ,deren Graph unten gezeichnet ist, ist fallend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li> |
<li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng fallend.</li> | <li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng fallend.</li> | ||
<li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng steigend für <math>x \ge 0</math>.</li> | <li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng steigend für <math>x \ge 0</math>.</li> | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man | + | Um zu bestimmen, ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}</math>}} | ||
| - | Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion | + | Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einem bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einem isolierten Punkt null ist und nicht auf einem Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein. |
== Stationäre Punkte == | == Stationäre Punkte == | ||
| - | Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> | + | Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> nennt man stationäre Punkte oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von stationären Punkten: |
| - | * Lokaler Hochpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist. | + | * Lokaler Hochpunkt, wo <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist. |
| - | * Lokaler Tiefpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist. | + | * Lokaler Tiefpunkt, wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist. |
| - | * Sattelpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> oder <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> auf beiden Seiten des Punktes ist. | + | * Sattelpunkt, wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> oder <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> auf beiden Seiten des Punktes ist. |
Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''. | Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''. | ||
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== Sattelpunkte == | == Sattelpunkte == | ||
| - | Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung. | + | Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung. |
<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center> | <center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center> | ||
{| width="85%" align="center" | {| width="85%" align="center" | ||
| - | ||<small> Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn ''x'' = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im | + | ||<small> Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn ''x'' = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensatz haben keine Sattelpunkte.</small> |
|} | |} | ||
| Zeile 118: | Zeile 118: | ||
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen. | Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen. | ||
| - | Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte wo <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen | + | Um die Funktion zu studieren, macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte wo <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Punkten. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}} | f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}} | ||
| - | Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ | + | Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ links von <math>x=-2</math> and positiv rechts von <math>x=-2</math>. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle: |
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
| Zeile 158: | Zeile 158: | ||
|} | |} | ||
| - | Nachdem die Ableitung | + | Nachdem die Ableitung das Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen: |
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
| Zeile 184: | Zeile 184: | ||
|} | |} | ||
| - | In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen | + | In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng steigend <math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng fallend <math>(\,\searrow\,\,)</math> ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den stationären Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>. |
| - | + | Aus der Tabelle ersehen wir, dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in <math>(–2, 22)</math> hat, und einen lokalen Tiefpunkt in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion: | |
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center> | <center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center> | ||
| Zeile 195: | Zeile 195: | ||
== Maxima und Minima (Extremwerte) == | == Maxima und Minima (Extremwerte) == | ||
| - | Ein Punkt wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man '' | + | Ein Punkt, wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man ''lokalen Hochpunkt'' oder ''lokalen Tiefpunkt''. Lokale Hochpunkte ond lokale Tiefpunkte nennt man auch lokale Extrempunkte. |
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten: | Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten: | ||
:* Ein stationärer Punkt (wo <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>). | :* Ein stationärer Punkt (wo <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>). | ||
| - | :* Ein Punkt wo die Ableitung nicht definiert ist ('''singulärer Punkt'''). | + | :* Ein Punkt, wo die Ableitung nicht definiert ist ('''singulärer Punkt'''). |
:* Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist. | :* Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist. | ||
| Zeile 208: | Zeile 208: | ||
Die Funktion unten hat vier lokale Extrempunkte: Lokale Hochpunkte in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, and lokale Tiefpunkte in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>. | Die Funktion unten hat vier lokale Extrempunkte: Lokale Hochpunkte in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, and lokale Tiefpunkte in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>. | ||
| - | <center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f | + | <center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerte in den Punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center> |
In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur die Punkte <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, nachdem <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist. | In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur die Punkte <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, nachdem <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist. | ||
| Zeile 219: | Zeile 219: | ||
:# Die Funktion abzuleiten. | :# Die Funktion abzuleiten. | ||
| - | :# Untersuchen ob es Punkte gibt wo <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist. | + | :# Untersuchen, ob es Punkte gibt wo <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist. |
:# Alle Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> bestimmen. | :# Alle Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> bestimmen. | ||
:# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden. | :# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden. | ||
| Zeile 380: | Zeile 380: | ||
== Globale Maxima und Minima == | == Globale Maxima und Minima == | ||
| - | Ein globales | + | Ein globales Maximum (globaler Hochpunkt) ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein ein globales Minimum (globaler Tiefpunkt) ein Punkt, der ein niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. |
| - | Um die | + | Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und den höchsten und niedrigsten Wert von diesen bestimmen. |
| - | Eine Funktion hat nicht immer ein globales | + | Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Zeile 391: | Zeile 391: | ||
<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center> | <center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center> | ||
| - | Die linke Funktion hat weder globales | + | Die linke Funktion hat weder globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum. |
</div> | </div> | ||
| - | Wenn eine Funktion auf | + | Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass einer der Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein kann. |
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center> | <center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center> | ||
| - | Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen dass das | + | Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen, dass das Minimum der Funktion im Punkt <math>x=b</math> ist, und dass das Maximum im Punkt <math>x=e</math> ist. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
''' Beispiel 7''' | ''' Beispiel 7''' | ||
| - | Bestimmen Sie das | + | Bestimmen Sie das Maximum und Minimum der Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> im Intervall <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>. |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| - | Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle | + | Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle stationären Punkte, |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Der Punkt <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles, und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Punkte, und | + | Der Punkt <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles, und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Punkte, und daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}} | ||
| - | Das | + | Das Maximum der Funktion ist also <math>3\textrm{.}375</math>. Das Minimum ist <math>0</math> (siehe Figur). |
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center> | <center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center> | ||
| - | Die Figur zeigt | + | Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion mit den Bereich, der im Intervall liegt mit eine durchgehenden Linie. |
</div> | </div> | ||
| - | == Die zweite Ableitung == | + | == Die zweite Ableitung ==http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/skins/mathse/spacer.gif |
| - | Das Vorzeichen der Ableitung gibt | + | Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrempunkten bestimmen. |
| - | Falls die Funktion <math>f(x)</math> einen stationären Punkt in <math>x=a</math> hat wo <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist | + | Falls die Funktion <math>f(x)</math> einen stationären Punkt in <math>x=a</math> hat, wo <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist |
# Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>. | # Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>. | ||
# Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>. | # Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>. | ||
| - | # Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales | + | # Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Maximum im Punkt <math>x=a</math>. |
| - | <center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente | + | <center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center> |
{| width="80%" align="center" | {| width="80%" align="center" | ||
| - | ||<small> Wenn die Ableitung links von ''x'' = ''a'' positiv ist, und rechts von ''x'' = ''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales | + | ||<small> Wenn die Ableitung links von ''x'' = ''a'' positiv ist, und rechts von ''x'' = ''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum im Punkt ''x'' = ''a''.</small> |
|} | |} | ||
| - | + | Wenn die Funktion <math>f(x)</math> einen stationären Punkt in <math>x=a</math> hat wo <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, ist | |
# Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>. | # Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>. | ||
# Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>. | # Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>. | ||
| - | # Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales | + | # Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Minimum im Punkt <math>x=a</math>. |
| - | <center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente | + | <center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center> |
{| width="80%" align="center" | {| width="80%" align="center" | ||
| - | ||<small> Wenn die Ableitung links von ''x'' = ''a'' negativ ist, und rechts von ''x'' = ''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales | + | ||<small> Wenn die Ableitung links von ''x'' = ''a'' negativ ist, und rechts von ''x'' = ''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt ''x'' = ''a''.</small> |
|} | |} | ||
| - | Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In | + | Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> für alle Sattelpunkte gilt nicht das Umgekehrte. |
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Die Funktion hat also die stationären Punkte <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung, <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, bestimmen, können wir den Charakter der stationären Punkten bestimmen. | Die Funktion hat also die stationären Punkte <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung, <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, bestimmen, können wir den Charakter der stationären Punkten bestimmen. | ||
| - | * Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales | + | * Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales Maximum. |
| - | * Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> und also ist <math>x=1</math> ein lokales | + | * Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> und also ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum. |
</div> | </div> | ||
Version vom 09:40, 6. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Kurven zeichnen
- Maximierungs- und Minimierungsprobleme
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Die Definitionen von steigend, streng steigend, fallend, streng fallend, lokales Maxima, globales Maxima, lokales Minima und globales Minima.
- Dass, wenn \displaystyle f^{\,\prime}>0 ist \displaystyle f streng steigend, und wenn \displaystyle f^{\,\prime}<0 ist \displaystyle f ist streng fallend.
- Stationäre Punkte zu finden und deren Charakter zu bestimmen.
- Kurven zeichnen mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung.
Globale Maxima und Minima einer Funktion zu finden.
- Den Charakter eines stationären Punktes mit der zweiten Ableitung zu bestimmen.
Steigende und fallende Funktionen
Man sagt, dass eine Funktion steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist und fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.
Die formellen Definitionen lauten:
Eine Funktion f ist steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:
| \displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.} |
Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:
| \displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.} |
Die Definition sagt uns also, dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.
Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng steigend und streng fallend:
Eine Funktion f ist streng steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:
| \displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.} |
Eine Funktion f ist streng fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:
| \displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.} |
(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)
Beispiel 1
- Die Funktion \displaystyle y= f(x) ,deren Graph unten gezeichnet ist, ist fallend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
- Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng fallend.
- Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng steigend für \displaystyle x \ge 0.
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| ||
| Graph of Die Funktion in part a | Graph of Die Funktion f(x) = - x³/4 | Graph of Die Funktion f(x) = x² |
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Um zu bestimmen, ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt
| \displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*} |
Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einem bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einem isolierten Punkt null ist und nicht auf einem Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.
Stationäre Punkte
Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 nennt man stationäre Punkte oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von stationären Punkten:
- Lokaler Hochpunkt, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts vom Punkt ist.
- Lokaler Tiefpunkt, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts vom Punkt ist.
- Sattelpunkt, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 oder \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 auf beiden Seiten des Punktes ist.
Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.
Sattelpunkte
Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.
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| Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensatz haben keine Sattelpunkte. |
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Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle x = 2.
Vorzeichentabelle
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.
Um die Funktion zu studieren, macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Punkten.
Beispiel 2
Machen Sie eine Vorzeichentabelle von der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.
Die Ableitung der Funktion ist
| \displaystyle
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2). |
Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ links von \displaystyle x=-2 and positiv rechts von \displaystyle x=-2. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:
| \displaystyle x | \displaystyle -2 | \displaystyle 2 | |||
| \displaystyle x-2 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle x+2 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Nachdem die Ableitung das Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:
| \displaystyle x | \displaystyle -2 | \displaystyle 2 | |||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 22 | \displaystyle \searrow | \displaystyle -10 | \displaystyle \nearrow |
In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den stationären Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.
Aus der Tabelle ersehen wir, dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle (–2, 22) hat, und einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/2/2/e/22e9337eb88f4bed6b660efdea0e2671.png)
Maxima und Minima (Extremwerte)
Ein Punkt, wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokalen Hochpunkt oder lokalen Tiefpunkt. Lokale Hochpunkte ond lokale Tiefpunkte nennt man auch lokale Extrempunkte.
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:
- Ein stationärer Punkt (wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
- Ein Punkt, wo die Ableitung nicht definiert ist (singulärer Punkt).
- Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist.
Beispiel 3
Die Funktion unten hat vier lokale Extrempunkte: Lokale Hochpunkte in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, and lokale Tiefpunkte in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.
In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur die Punkte \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, nachdem \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.
In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Der Punkt \displaystyle x=e ist ein Endpunkt.
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Ein Algorithmus um die Extrempunkte zu finden ist:
- Die Funktion abzuleiten.
- Untersuchen, ob es Punkte gibt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
- Alle Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 bestimmen.
- Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
- Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
Beispiel 4
Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.
Die Ableitung der Funktion ist
| \displaystyle
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.} |
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon, und wir können die Funktion weiter zerlegen indem wir die Wurzeln von \displaystyle x^2+x-2 finden.
| \displaystyle
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1. |
Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist
| \displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.} |
Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.
| \displaystyle x | \displaystyle -2 | \displaystyle 0 | \displaystyle 1 | ||||
| \displaystyle x+2 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle x | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle x-1 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Kolonne, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
| \displaystyle x | \displaystyle -2 | \displaystyle 0 | \displaystyle 1 | ||||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \searrow | \displaystyle -20 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 12 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 7 | \displaystyle \nearrow |
Die Kurve hat also lokale Tiefpunkte in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und einen lokalen Hochpunkt im Punkt \displaystyle (0, 12).
Beispiel 5
Bestimmen Sie Alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.
Die Ableitung der Funktion ist
| \displaystyle
y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.} |
Von dieser Funktion sehen wir dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion einen Singulären Punkt in \displaystyle x=0.
Die Stationären Punkte der Funktion erhalten wir durch
| \displaystyle
y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.} |
Also kann die Funktion Extrempunkte in den Punkten \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle um die Punkte weiter zu untersuchen:
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \frac{8}{27} | |||
| \displaystyle y' | \displaystyle + | not def. | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle y | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 0 | \displaystyle \searrow | \displaystyle -\frac{4}{27} | \displaystyle \nearrow |
Also hat die Funktion einen lokalen Hochpunkt im Punkt \displaystyle (0, 0), und einen lokalen Tiefpunkt im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/0/5/d/05db8c099a316707481d03104dbdcb94.png)
Globale Maxima und Minima
Ein globales Maximum (globaler Hochpunkt) ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein ein globales Minimum (globaler Tiefpunkt) ein Punkt, der ein niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und den höchsten und niedrigsten Wert von diesen bestimmen.
Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
Beispiel 6
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/b/d/2/bd2d265bd152843be867cf9c885fffaa.png)
Die linke Funktion hat weder globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.
Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass einer der Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein kann.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/e/4/8/e480b71de0ada607c0b1157b66c218f1.png)
Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das Minimum der Funktion im Punkt \displaystyle x=b ist, und dass das Maximum im Punkt \displaystyle x=e ist.
Beispiel 7
Bestimmen Sie das Maximum und Minimum der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.
Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle stationären Punkte,
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.} |
Der Punkt \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles, und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Punkte, und daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.
| \displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*} |
Das Maximum der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minimum ist \displaystyle 0 (siehe Figur).
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/3/e/d/3ed5d25c72ef743667425c369dd3da39.png)
Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion mit den Bereich, der im Intervall liegt mit eine durchgehenden Linie.
== Die zweite Ableitung ==http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/skins/mathse/spacer.gif
Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrempunkten bestimmen.
Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat, wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist
- Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
- Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.
- Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle x=a.
| Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum im Punkt x = a. |
Wenn die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist
- Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
- Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.
- Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum im Punkt \displaystyle x=a.
| Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt x = a. |
Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt nicht das Umgekehrte.
Beispiel 8
Bestimmen Sie alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimmen sie deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Punkte sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Wurzeln der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung
| \displaystyle
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.} |
Die Funktion hat also die stationären Punkte \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung, \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2, bestimmen, können wir den Charakter der stationären Punkten bestimmen.
- Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0 und also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maximum.
- Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0 und also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.
