1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Maxima und Minima (Extremwerte) ==
== Maxima und Minima (Extremwerte) ==
 +
Ein Punkt wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man ''lokaler Hochpunkt'' oder ''lokaler Tiefpunkt''. Lokale Hochpunkte ond lokala Tiefpunkte benennt man auch lokale Extrempunkte.
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A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings is called a ''local maximum '' or ''local minimum'' (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as ''extrema''.
+
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:
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An extremum may occur in one of three ways:
+
:* Ein stationärer Punkt (wo <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
-
 
+
:* Ein Punkt wo die Ableitung nicht definiert ist ('''singulärer Punkt''').
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:* At a stationary point (where <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
+
:* Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist.
-
:* At a point where the derivative does not exist (known as a ''singular point'').
+
-
:* At an endpoint to the interval where Die Funktion is defined.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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For Die Funktion below there are four extrema: maximum at <math>x=c</math> and <math>x=e</math>, and minimum at <math>x=a</math> and <math>x=d</math>.
+
Die Funktion unten hat vier lokale Extrempunkte: Lokale Hochpunkte in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, and lokale Tiefpunkte in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center>
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+
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At <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=d</math> one has <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, but it is only at <math>x=a</math> and <math>x=d</math> that there are extrema, since <math>x=b</math> is a stationary point of inflexion.
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In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur die Punkte <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, nachdem <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist.
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At <math>x=c</math> the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point <math>x=e</math> is an endpoint.
+
In <math>x=c</math> ist die Ableitung nicht definiert. Der Punkt <math>x=e</math> ist ein Endpunkt.
</div>
</div>
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When one is looking for the extrema of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:
+
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Ein Algorithmus um die Extrempunkte zu finden ist:
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:# Differentiate Die Funktion.
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:# Die Funktion abzuleiten.
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:# Check to see if there are any points where <math>f^{\,\prime}(x)</math> is not defined.
+
:# Untersuchen ob es Punkte gibt wo <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist.
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:# Determine all points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
+
:# Alle Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> bestimmen.
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:# Make a table of signs to locate and classify all of the extrema.
+
:# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
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:# Calculate the value of Die Funktion for all the extrema and at any endpoints.
+
:# Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Determine all the extrema of the curve <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
+
Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
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Die Funktion's derivative is given by
+
Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
-
In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis, we factorise the derivative as completely as possible. We have already managed to take out the factor <math>12x</math> and we can factorise further the remaining term <math>x^2+x-2</math> by identifying its zeros
+
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon, und wir können die Funktion weiter zerlegen indem wir die Wurzeln von <math>x^2+x-2</math> finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.</math>}}
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.</math>}}
-
This means that <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> and the derivative can be rewritten as
+
Also ist <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> und die Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
-
It can be seen immediately from this that the derivative is zero for <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> and <math>x=1</math>. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of <math>x</math>.
+
Die Nullstellen der Ableitung sind <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> und <math>x=1</math>. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene <math>x</math> bestimmen.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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|}
|}
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The derivative is the product of these factors, and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.
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Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Kolonne, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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|}
|}
-
The curve has thus local minima at <math>(–2, –20)</math> and <math>(1, 7)</math> and a local maximum at <math>(0, 12)</math>.
+
Die Kurve hat also lokale Tiefpunkte in den Punkten <math>(–2, –20)</math> und <math>(1, 7)</math> und einen lokalen Hochpunkt im Punkt <math>(0, 12)</math>.
</div>
</div>
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
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Determine all extrema of the curve <math>y= x - x^{2/3}</math>.
+
Bestimmen Sie Alle Extrempunkte der Funktion <math>y= x - x^{2/3}</math>.
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The derivative of Die Funktion is given by
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Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
-
From this expression, we see that <math>y'</math> is not defined for <math>x = 0</math> (although which <math>y</math> is defined). This means that Die Funktion has a singular point at <math>x=0</math>.
+
Von dieser Funktion sehen wir dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion einen Singulären Punkt in <math>x=0</math>.
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The stationary points of Die Funktion are given by
+
Die Stationären Punkte der Funktion erhalten wir durch
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
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The only points at which Die Funktion might have an extremum are thus <math>x=0</math> and <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:
+
Also kann die Funktion Extrempunkte in den Punkten <math>x=0</math> und <math>x=\tfrac{8}{27}</math> haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle um die Punkte weiter zu untersuchen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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|}
|}
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The curve has a local maximum at <math>(0, 0)</math> (a cusp) and a local minimum at <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
+
Also hat die Funktion einen lokalen Hochpunkt im Punkt <math>(0, 0)</math>, und einen lokalen Tiefpunkt im Punkt <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
Zeile 380: Zeile 379:
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== Global min / max ==
+
== Globale Maxima und Minima ==
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A function has a''global'' maximum at a point if its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where Die Funktion's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.
+
Ein globales Maxima (globaler Hochpunkt) ist ein Punkt der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein ein globales Minima (globaler Tiefpunkt) ein Punkt der ein niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
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Um die Globale Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokale Maxima und Minima bestimmen, und den höchsten und niedrigsten Wert von diesen bestimmen.
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To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of Die Funktion at them. If Die Funktion is defined on an interval with endpoints, one must of course also examine its value at these points.
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Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maxima oder Minima, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
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+
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+
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Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
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In the first figure Die Funktion has no global maximum nor global minimum. In the second figure the function has no global minimum.
+
Die linke Funktion hat weder globales Maxima noch Minima. Die rechte Funktion hat kein globales Minima.
</div>
</div>
-
In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of Die Funktion. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.
+
Wenn eine Funktion auf einen bestimmten Intervall begrenzt ist, muss man beachten dass einer der Endpunkte ein globales Maxima oder Minima sein kann.
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
-
The above function is only of interest in the interval <math>a\le x \le e</math>. We see that the minimum value of Die Funktion in this interval occurs at the stationary point <math>x=b</math>, while the maximim value is found at the endpoint <math>x=e</math>.
+
Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen dass das Minima der Funktion im Punkt <math>x=b</math> ist, und dass das Maxima im Punkt <math>x=e</math> ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
 
+
Bestimmen Sie das Maxima und Minima der Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> im Intervall <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
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Determine the maximum and minimum value of Die Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> in the interval <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
+
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-
We differentiate Die Funktion, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, and put the derivative equal to zero to obtain all the stationary points
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Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle statiomäran Punkte,
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
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The point <math>x = –1</math> is outside the interval on which Die Funktion is defined, and <math>x = 1</math> lies at one endpoint of this interval. Since Die Funktion has no singular points (it is differentiable everywhere), its maximum and minimum must be at the interval's endpoints,
+
Der Punkt <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles, und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Punkte, und also muss das Maxima und das Minima an einen der Endpunkte liegen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
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Die Funktion's maximum value on the given interval is thus <math>3\textrm{.}375</math>. The minimum value is <math>0</math> (see the figure).
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Das Maxima der Funktion ist also <math>3\textrm{.}375</math>. Das Minima ist <math>0</math> (siehe Figur).
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
-
+
-
The figure shows Die Funktion with the whole graph as a dashed curve , with the part that is within the given interval appearing as a continuous curve.
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Die Figur zeigt die ganze Graphe der Funktion, mit den Bereich der im Intervall liegt mit eine ganz gezogenen Linie.
</div>
</div>
-
== The second derivative ==
+
== Die zweite Ableitung ==
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The sign of the derivative of a function gives us information about whether Die Funktion is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the ''second'' derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.
+
Das Vorzeichen der Ableitung gibt und genügend Information darüber, ob eine Funktion steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen ob die Ableitung der Funktion steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrempunkten bestimmen.
-
If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, then
+
Falls die Funktion <math>f(x)</math> einen stationären Punkt in <math>x=a</math> hat wo <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist
-
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly decreasing in some interval surrounding <math>x=a</math>.
+
# Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>.
-
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>x=a</math>.
+
# Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Maxima im Punkt <math>x=a</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small> If the derivative is positive to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and negative to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local maximum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maxima im Punkt ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
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If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, then
+
Falls die Funktion <math>f(x)</math> einen stationären Punkt in <math>x=a</math> hat wo <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, ist
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# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly increasing in some interval around <math>x=a</math>.
+
# Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>.
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# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# Nachdem <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> ist <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math> und <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local minimum at <math>x=a</math>.
+
# Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Minima im Punkt <math>x=a</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>If the derivative is negative to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and positive to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local minimum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minima im Punkt ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
If <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of signs. Note in particular that <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> does ''not'' imply that the point is a stationary point of inflexion (although <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).
+
Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In diese Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Besonders bedeutet <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> nicht dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> für alle Sattelpunkte, gilt nicht dass umgekehrte.
Zeile 462: Zeile 458:
'''Beispiel 8'''
'''Beispiel 8'''
-
Determine all the extrema of Die Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> and determine their character by using the second derivative.
+
Bestimmen Sie alle Extrempunkte der Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> und bestimmen sie deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.
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This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If Die Funktion has any extrema, they must therefore be found among the stationary points. We thus differentiate Die Funktion, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, and equate the derivative to zero
+
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Punkte sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die Wurzeln der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Die Funktion has stationary points at <math>x = 1</math> and <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. By examining the sign of the second derivative <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, we can classify each stationary point .
+
Die Funktion hat also die stationären Punkte <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung, <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, bestimmen, können wir den Charakter der stationären Punkten bestimmen.
-
* For <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> and that means that <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> is a local maximum.
+
* Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales Maxima.
-
* For <math>x=1</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> and that means that <math>x=1</math> is a local maximum.
+
* Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> und also ist <math>x=1</math> ein lokales Minima.
</div>
</div>

Version vom 14:00, 26. Apr. 2009


       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Kurven zeichnen
  • Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • The definition of strictly increasing, strictly decreasing, local maximum, local minimum, global maximum, global minimum.
  • That if \displaystyle f^{\,\prime}>0 in an interval then \displaystyle f is strictly increasing in the interval, and that if \displaystyle f^{\,\prime}<0 in an interval then \displaystyle f is strictly decreasing in the interval.
  • To locate stationary points and, by studying the sign of the derivative, classify them as local maxima, local minima, and stationary points of inflexion.
  • To sketch the graph of a function by constructing a table of signs for the derivative.
  • To determine global and local maxima and minima by 1) studying the sign of the derivative, 2) considering points where Die Funktion is not differentiable, 3) examining the endpoints of the interval where Die Funktion is defined.
  • To use the sign of the second derivative to distinguish between local maxima and local minima.


Steigende und fallende Funktionen

Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.

Die formelle Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng steigend und streng fallend:

Eine Funktion f ist streng steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)

Beispiel 1

  1. Die Funktion \displaystyle y= f(x) wessen Graph unten gezeichnet ist, ist fallend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng fallend.
  3. Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng steigend für \displaystyle x \ge 0.


[Image]

[Image]

[Image]

Graph of Die Funktion in part
 a 		Graph of Die Funktion
f(x) = - x³/4 		Graph of Die Funktion
f(x) = x²

Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}

Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.


Stationäre Punkte

Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:

  • Lokaler Hochpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts vom Punkt ist.
  • Lokaler Tiefpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts vom Punkt ist.
  • Sattelpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 oder \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 auf beiden Seiten des Punktes ist.

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.


[Image]

Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensinn, haben keine Sattelpunkte.


[Image]

Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle x = 2.


Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.

Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle von der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).

Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ linkt von \displaystyle x=-2 and positiv rechts von \displaystyle x=-2. Durch diese Information erschaffen wir eine Tabelle:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Nachdem die Ableitung der Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen indiziert ob die Funktion streng steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den Stationären Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.

Von der Tabelle sehen wir dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle (–2, 22) hat, und einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

[Image]


Maxima und Minima (Extremwerte)

Ein Punkt wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokaler Hochpunkt oder lokaler Tiefpunkt. Lokale Hochpunkte ond lokala Tiefpunkte benennt man auch lokale Extrempunkte.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:

  • Ein stationärer Punkt (wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • Ein Punkt wo die Ableitung nicht definiert ist (singulärer Punkt).
  • Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist.

Beispiel 3

Die Funktion unten hat vier lokale Extrempunkte: Lokale Hochpunkte in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, and lokale Tiefpunkte in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.

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In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur die Punkte \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, nachdem \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.

In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Der Punkt \displaystyle x=e ist ein Endpunkt.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Ein Algorithmus um die Extrempunkte zu finden ist:

  1. Die Funktion abzuleiten.
  2. Untersuchen ob es Punkte gibt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
  3. Alle Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 bestimmen.
  4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
  5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Beispiel 4

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}

Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon, und wir können die Funktion weiter zerlegen indem wir die Wurzeln von \displaystyle x^2+x-2 finden.

\displaystyle

x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.

Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist

\displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}

Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Kolonne, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

Die Kurve hat also lokale Tiefpunkte in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und einen lokalen Hochpunkt im Punkt \displaystyle (0, 12).

Beispiel 5

Bestimmen Sie Alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}

Von dieser Funktion sehen wir dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion einen Singulären Punkt in \displaystyle x=0.

Die Stationären Punkte der Funktion erhalten wir durch

\displaystyle

y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}

Also kann die Funktion Extrempunkte in den Punkten \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle um die Punkte weiter zu untersuchen:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + not def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

Also hat die Funktion einen lokalen Hochpunkt im Punkt \displaystyle (0, 0), und einen lokalen Tiefpunkt im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

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Globale Maxima und Minima

Ein globales Maxima (globaler Hochpunkt) ist ein Punkt der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein ein globales Minima (globaler Tiefpunkt) ein Punkt der ein niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die Globale Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokale Maxima und Minima bestimmen, und den höchsten und niedrigsten Wert von diesen bestimmen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maxima oder Minima, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Beispiel 6

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Die linke Funktion hat weder globales Maxima noch Minima. Die rechte Funktion hat kein globales Minima.

Wenn eine Funktion auf einen bestimmten Intervall begrenzt ist, muss man beachten dass einer der Endpunkte ein globales Maxima oder Minima sein kann.

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Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen dass das Minima der Funktion im Punkt \displaystyle x=b ist, und dass das Maxima im Punkt \displaystyle x=e ist.


Beispiel 7 Bestimmen Sie das Maxima und Minima der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.

Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle statiomäran Punkte,

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}

Der Punkt \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles, und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Punkte, und also muss das Maxima und das Minima an einen der Endpunkte liegen.

\displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}

Das Maxima der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minima ist \displaystyle 0 (siehe Figur).

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Die Figur zeigt die ganze Graphe der Funktion, mit den Bereich der im Intervall liegt mit eine ganz gezogenen Linie.


Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt und genügend Information darüber, ob eine Funktion steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen ob die Ableitung der Funktion steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrempunkten bestimmen.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

  1. Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
  2. Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.
  3. Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maxima im Punkt \displaystyle x=a.

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Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maxima im Punkt x = a.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

  1. Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
  2. Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.
  3. Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minima im Punkt \displaystyle x=a.

[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minima im Punkt x = a.


Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In diese Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Besonders bedeutet \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 nicht dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte, gilt nicht dass umgekehrte.


Beispiel 8

Bestimmen Sie alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimmen sie deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Punkte sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Wurzeln der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}

Die Funktion hat also die stationären Punkte \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung, \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2, bestimmen, können wir den Charakter der stationären Punkten bestimmen.

  • Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0 und also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maxima.
  • Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0 und also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minima.
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