1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(D)
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Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist im Punkt <math>x=0</math> nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> bestimmen (Siehe Figur).
Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist im Punkt <math>x=0</math> nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> bestimmen (Siehe Figur).
-
 
+
Man kann auch sagen dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert, oder nicht definiert ist.
-
One can express this, for example, in one of the following ways:"<math>f^{\,\prime}(0)</math> does not exist", "<math>f^{\,\prime}(0)</math> is not defined " or "<math>f(x)</math> is not differentiable at <math>x=0</math>".
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
-
<center><small> graph of the function ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
+
<center><small> Graphe der Funktion ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
</div>
</div>
-
== Differentiation rules ==
+
== Ableitungen von Funktionen ==
-
Using the definition of differentiation one can determine the derivatives for the standard types of functions.
+
Mit der Definition der Ableitung einer Funktion, kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
If <math>f(x)=x^2</math> then, according to the definition of the increment ratio
+
Wenn <math>f(x)=x^2</math> ist, ist laut der Definition der Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
-
If we then let <math>h</math> go to zero, we see that the gradient at the point becomes <math>2x</math>. We have thus shown that the gradient of an arbitrary point on the curve <math>y=x^2</math> is <math>2x</math>. That is, the derivative of <math>x^2</math> is <math>2x</math>.
+
Lassen wir <math>h</math> sich null nähern, erhalten wir <math>2x</math>. Also ist die Steigung der Funktion <math>y=x^2</math>, <math>2x</math> im Punkt ''x''. Also ist die Ableitung von <math>x^2</math>, <math>2x</math>.
</div>
</div>
-
In a similar way, we can deduce general differentiation rules:
+
Ähnlich kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" |<math>x^n</math>
| align="center" |<math>x^n</math>
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|}
|}
-
 
+
Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
-
In addition, for sums and differences of expressions of functions one has
+
{{Abgesetzte Formel||<math>D(f(x) +g(x))
{{Abgesetzte Formel||<math>D(f(x) +g(x))
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
Additionally, if ''k'' is a constant, then
+
Und, wenn ''k'' eine Konstante ist, ist
{{Abgesetzte Formel||<math>D(k \, f(x))
{{Abgesetzte Formel||<math>D(k \, f(x))
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
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<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
= 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x</math></li>
= 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x</math></li>
-
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> gives that
+
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ergibt
<math>\quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x
<math>\quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
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= \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2
= \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
-
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> gives that
+
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ergibt
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
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''' Beispiel 9'''
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> gives that
+
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ergibt
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2}
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2}
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
-
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> gives that <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3}
+
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ergibt <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3}
= -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
= -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
-
gives that<math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
+
ergibt <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
-
<math>\qquad\quad</math> gives that<math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
+
<math>\qquad\quad</math> ergibt <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 315: Zeile 313:
''' Beispiel 10'''
''' Beispiel 10'''
-
The function <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> has the derivative
+
Die Funktion <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> hat die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
-
This means, for example, that <math>f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> and that <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. However, the derivative <math>f'(0)</math> is not defined.
+
Also ist zum Beispiel <math>f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> und <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>.Die Ableitung <math>f'(0)</math> ist aber nicht definiert.
</div>
</div>
Zeile 327: Zeile 325:
''' Beispiel 11'''
''' Beispiel 11'''
-
An object moves according to <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, where <math>s(t)</math> km is the distance from the starting point after <math>t</math> hours. Calculate <math>s'(3)</math> and explain what the value stands for.
+
Ein Gegenstand bewegt sich wie <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, wo <math>s(t)</math> km die Streche des Gegenstandes nach <math>t</math> Stunden ist. Berechnen Sie <math>s'(3)</math> und erklären sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.
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Differentiating with respect to the time
+
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
-
\text{which gives that}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
+
\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
= 8\,\mbox{.}</math>}}
= 8\,\mbox{.}</math>}}
-
This might suggest that after 3 hours the object's speed is 8 km/h.
+
Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 stunden.
</div>
</div>
Zeile 343: Zeile 341:
''' Beispiel 12'''
''' Beispiel 12'''
-
The total cost <math>T</math> dollars for the manufacture of <math>x</math> objects is given by the function
+
Der totale Kosten <math>T</math> Euro, für einen Hersteller von <math>x</math> Gegenständen, ist
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
\text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
\text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Berechnen und deuten Sie Folgende Ausdrücke
-
Calculate and explain the meaning of the following expressions.
+
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<br>
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<math>T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2
<math>T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2
= 83104\,</math>.<br>
= 83104\,</math>.<br>
-
The total cost to manufacture 120 objects is 83104 dollars.</li>
+
Der totale Kosten um 120 Gegenstände herzustellen ist 83104 Euro. </li>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
-
The derivative is given by <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> and
+
Die Ableitung ist <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> und daher ist
-
therefore, is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120
\approx 348\textrm{.}</math>}}
\approx 348\textrm{.}</math>}}
-
Marginal costs ("the cost to produce an additional 1 object") of 120 manufactured objects is approximately 348 dollars. </li>
+
Der Grenzkosten (der Kosten um noch eine extra Einheit zu produzieren) ist ungefähr 348 Euro. </li>
</ol>
</ol>
Zeile 367: Zeile 363:
-
== Tangents and normals ==
+
== Tangenten und Normale ==
-
A ''tangent'' to a curve is a straight line tangential to the curve.
+
Eine ''Tangente'' ist eine Gerade tangential zur Kurve ist.
-
A ''normal'' to a curve at a point on the curve is a straight line that is perpendicular to the curve at the
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Ein ''Normal'' ist eine Gerade die winkelrecht zu der Kurve ist, und daher auch winkelrecht zur Tangente ist.
-
point (and hence perpendicular to the curve's tangent at this point).
+
-
For perpendicular lines, the product of their gradients is <math>–1</math>, i.e. if the tangents gradient is <math>k_T</math> and the normals is <math>k_N</math> then <math>k_T \, k_N = -1</math>. Since we can determine the gradient of a curve with the help of the derivative, we can also determine the equation of a tangent or a normal, if we know the equation for the curve.
+
Für winkelrechte Geraden ist der Produkt deren Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung des Normals <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. Nachdem wir die Tangente durch der Ableitung bestimmen können, können wir auch den Normal durch Ableitung bestimmen.
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''' Beispiel 13'''
''' Beispiel 13'''
-
Determine the equation for the tangent and the normal to the curve <math>y=x^2 + 1</math> at the point <math>(1,2)</math>.
+
Bestimmen Sie die Tangente der Funktion <math>y=x^2 + 1</math> im Punkt <math>(1,2)</math>.
<br>
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<br>
<br>
-
We write the tangents equation as <math>y = kx + m</math>. Since it is to tangent (touch) the curve at <math>x=1</math> it must have a gradient of <math>k= y'(1)</math>, i.e.
+
Wir schreiben die Gleichung der Tangente <math>y = kx + m</math>. Nachdem die Gerade die Kurve bei <math>x=1</math> tangiert, ist <math>k= y'(1)</math>, also
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2</math>.}}
-
The tangent also passes through the point <math>(1,2)</math> and therefore <math>(1,2)</math> must satisfy the tangents equation
+
Nachdem die Tangente durch den Punkt <math>(1,2)</math> geht, haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
m = 0</math>.}}
m = 0</math>.}}
-
The tangents equation is thus <math>y=2x</math>.
+
Die Tangente ist also <math>y=2x</math>.
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+
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The gradient of the normal is <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
+
Die Steigung des Normals ist <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
-
In addition, the normal also passes through the point <math>(1, 2)</math> , i.e.
+
Zusätzlich geht der Normal durch den Punkt <math>(1, 2)</math>, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\times 1 + m
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\times 1 + m
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
-
The normal has the equation <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
+
Der Normal ist also <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
Zeile 412: Zeile 406:
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Normale y = (5 - x)/2}}
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Normale y = (5 - x)/2}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Tangent <math>y=2x</math></small>
+
| align="center" |<small>Tangente <math>y=2x</math></small>
| width="30px" |
| width="30px" |
| align="center" |<small>Normal <math>y=(5-x)/2</math></small>
| align="center" |<small>Normal <math>y=(5-x)/2</math></small>
Zeile 425: Zeile 419:
''' Beispiel 14'''
''' Beispiel 14'''
-
The curve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> has a tangent with a gradient of <math>–1</math>. Determine the point of tangency (where the tangent touches the curve).
+
Die Kurve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> hat eine Tangente mit der Steigung <math>–1</math>. Bestimmen Sie die Stelle wo die Kurve die Tangente tangiert.
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{| width="100%"
{| width="100%"
| width="90%" |
| width="90%" |
-
The derivative of the right-hand side is <math>y' = 2 \, e^x -3</math> and at the point of tangency the derivative must be equal to <math>-1</math>, that is,
+
Die Ableitung ist <math>y' = 2 \, e^x -3</math>, und der Punkt muss die Ableitung <math>-1</math> haben, also
-
<math>y' = -1</math>, and this gives us the equation
+
<math>y' = -1</math>, und wir erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
-
which has a solution <math> x=0</math>. At the point <math>x=0</math> the curve has <math>y</math>-value <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2</math> and therefore the point of tangency is <math>(0,2)</math>.
+
mit der Lösung <math> x=0</math>. Im Punkt <math>x=0</math> Hat die Kurve den <math>y</math>-Wert <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2</math>, und daher ist der erragte Punkt <math>(0,2)</math>.
| width="10%" |
| width="10%" |
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}

Version vom 19:41, 8. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Definition of the derivative (overview).
  • Derivative of \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x.
  • Derivative of sums and differences.
  • Tangents and normals to curves.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • That the first derivative \displaystyle f^{\,\prime}(a) is the gradient of the curve \displaystyle y=f(x) at the point \displaystyle x=a.
  • That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
  • That there are functions that are not differentiable (such as \displaystyle f(x)=\vert x\vert at \displaystyle x=0).
  • To differentiate \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x as well as the sums / differences of such terms.
  • To determine the tangent and normal to the curve \displaystyle y=f(x).
  • That the derivative can be denoted by \displaystyle f^{\,\prime}(x) or \displaystyle df/dx(x).

Einfüfrung

In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen wie sich eine Funktion verändern, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekansteigung ein. Die Sekantsteigung ist ein Maß in wie steil eine Funktion ist. Weiß man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantsteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen;

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}

Beispiel 1

Die lineare Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantsteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.



[Image]

[Image]

Graph of f(x) = x hat die Steigung  1. Graph of g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantsteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto gefahren ist wie \displaystyle s(t)=80 t schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesen Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0.

  1. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 1 bis \displaystyle x = 2 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} 
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall zu.
  2. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} 
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantsteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} 
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl Sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.



Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein, und berechnen die Sekantsteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantsteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q näher und näher den Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f(x) im Punkt P.

Die Ableitung von \displaystyle f(x) schreibt man wie \displaystyle f^{\,\prime}(x) und wird definiert wie:

Die Ableitung von \displaystyle f(x), ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) 
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Falls \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man dass die Funktion \displaystyle f(x) differenzierbar im Punkt \displaystyle x=x_0 ist.

Es gibt viele Notationen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) zunehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) abnehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet dass \displaystyle f(x) waagrecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet dass der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist wenn \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ 3 ist wenn \displaystyle x=2, und also ist die Steigung der Funktion \displaystyle 3 wenn \displaystyle x=2.

Beispiel 4

Von der Figur können wir folgendes erhalten

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t minuten ist gegeben. Deuten Sie folgende mathematische Begriffe:

    \displaystyle T(10)=80

  1. Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.

    \displaystyle T'(2)=-3
  2. Nach 2 Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab

    (Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist im Punkt \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).

Man kann auch sagen dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert, oder nicht definiert ist.

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Graphe der Funktion f(x) = |x|


Ableitungen von Funktionen

Mit der Definition der Ableitung einer Funktion, kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} 
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x im Punkt x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Ähnlich kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle D(f(x) +g(x)) 
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle D(k \, f(x)) 
 = k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} 
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0.Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Streche des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad 
 \text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 stunden.

Beispiel 12

Der totale Kosten \displaystyle T Euro, für einen Hersteller von \displaystyle x Gegenständen, ist

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad 
 \text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechnen und deuten Sie Folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2 = 83104\,.
    Der totale Kosten um 120 Gegenstände herzustellen ist 83104 Euro.
  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120 
           \approx 348\textrm{.}
    Der Grenzkosten (der Kosten um noch eine extra Einheit zu produzieren) ist ungefähr 348 Euro.


Tangenten und Normale

Eine Tangente ist eine Gerade tangential zur Kurve ist.

Ein Normal ist eine Gerade die winkelrecht zu der Kurve ist, und daher auch winkelrecht zur Tangente ist.

Für winkelrechte Geraden ist der Produkt deren Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung des Normals \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Nachdem wir die Tangente durch der Ableitung bestimmen können, können wir auch den Normal durch Ableitung bestimmen.


Beispiel 13

Bestimmen Sie die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 tangiert, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad 
 m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung des Normals ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht der Normal durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und also ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\times 1 + m 
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Der Normal ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normal \displaystyle y=(5-x)/2


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimmen Sie die Stelle wo die Kurve die Tangente tangiert.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3, und der Punkt muss die Ableitung \displaystyle -1 haben, also \displaystyle y' = -1, und wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. Im Punkt \displaystyle x=0 Hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2, und daher ist der erragte Punkt \displaystyle (0,2).

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