Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 10:51, 11. Mär. 2009 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Solution 3.4:2 moved to Lösung 3.4:2: Robot: moved page) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Version vom 13:59, 21. Mai 2009 (bearbeiten) (rückgängig) Martin (Diskussion | Beiträge) Zum nächsten Versionsunterschied →
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as	+	Nachdem das Polynom die Nullstelle <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, und daher ist
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}
-	for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,	+	für welche konstanten <math>A</math> und <math>B</math>. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 18:		Zeile 18:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, the equation can be written as	+	Daher ist unsere Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor	+	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> is zero, and we see directly that <math>z-1</math> is zero only when <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.
-	Hence, we determine the roots by solving the equation	+	Wir bestimmen die restlichen Nullstellen indem wir die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	Completing the square gives	+	durch quadratische Ergänzung lösen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 36:		Zeile 36:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and taking the root gives that <math>z-1=\pm i</math>, i.e. <math>z=1-i</math> and	+	und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
	<math>z=1+i\,</math>.		<math>z=1+i\,</math>.
-	The equation's other roots are <math>z=1-i</math> and <math>z=1+i\,</math>.	+	Die anderen Nullstellen sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
-	As an extra check, we investigate whether <math>z = 1 \pm i</math> really are roots of the equation.	+	Wir kontrollieren schnell ob <math>z = 1 \pm i</math> Nullstellen der Gleichung sind,
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 64:		Zeile 64:
	&= 0\,\textrm{.}		&= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
-
-
-	Note: Writing
-
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
-
-	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

---

Version vom 13:59, 21. Mai 2009

Nachdem das Polynom die Nullstelle \displaystyle z=1 hat, ist \displaystyle z-1 ein Faktor im Polynom, und daher ist

\displaystyle z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)

für welche konstanten \displaystyle A und \displaystyle B. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

\displaystyle \begin{align} z^2+Az+B &= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.} \end{align}

Daher ist unsere Gleichung

\displaystyle (z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von \displaystyle z^2-2z+2 sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn \displaystyle z-1 oder wenn \displaystyle z^2-2z+2 null ist. Wir sehen direkt dass \displaystyle z-1 nur null ist wenn \displaystyle z=1\,.

Wir bestimmen die restlichen Nullstellen indem wir die Gleichung

\displaystyle z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}

durch quadratische Ergänzung lösen,

\displaystyle \begin{align} (z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt] (z-1)^2 &= -1\,, \end{align}

und wir erhalten \displaystyle z-1=\pm i, also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Nullstellen sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Wir kontrollieren schnell ob \displaystyle z = 1 \pm i Nullstellen der Gleichung sind,

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}