Lösung 3.3:5a

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Even if the equation contains complex numbers as coefficients, we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the square root.
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Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.
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We complete the square on the left-hand side,
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Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Now, we see that the equation has the solutions
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und wir erhalten die Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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We test the solutions,
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Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung,
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}

Version vom 16:49, 18. Mai 2009

Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.

Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir,

\displaystyle \begin{align}

(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\,,\\[5pt] (z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\,,\\[5pt] (z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\,,\\[5pt] (z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.} \end{align}

und wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}

&2+i\,,\\ &i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung,

\displaystyle \begin{align} z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= (2+i)^2 - 2(1+i)(2+i)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i+i^2-2(2+i+2i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i-1-4-6i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{2+i:}{}\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt] &= -1-2(i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= -1-2i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

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