Lösung 3.3:2b

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The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have
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Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes
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und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of <math>2\pi</math>,
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Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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which gives that
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Dadurch erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 24: Zeile 24:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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For every third integer <math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>), so the equation has in reality three solutions (for <math>n=0</math>, <math>1</math> and <math>\text{2}</math>),
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Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>),
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is 3.
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Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.
[[Image:3_3_2_b.gif|center]]
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Version vom 15:21, 18. Mai 2009

Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,, \end{align}

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden,

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^3 &= 1\,,\\[5pt] 3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),} \end{align}\right.

Dadurch erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).} \end{align}\right.

Für jede Dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle 1 und für \displaystyle \text{2}),

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt] &-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt] &\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right.

Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.

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