Lösung 2.3:2d

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We shall solve the exercise in two different ways.
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Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methode lösen.
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'''Method 1''' (integration by parts)
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'''Methode 1''' (partielle Integration)
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At first sight, integration by parts seems impossible, but the trick is to see the integrand as the product
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Am ersten Anblich scheint es unmöglich partielle Integration auszuführen. Der Trick ist dass wir den Integrand als den Produkt
{{Abgesetzte Formel||<math>1\centerdot \ln x\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1\centerdot \ln x\,\textrm{.}</math>}}
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We integrate the factor <math>1</math> and differentiate <math>\ln x</math>,
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betrachten, und den 1:er integrieren, und <math>\ln x</math> ableiten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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'''Method 2''' (substitution)
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'''Methode 2''' (Substitution und partielle Integration)
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It seems difficult to find some suitable expression to substitute, so we try to substitute the whole expression <math>u=\ln x\,</math>. The problem we encounter is how we should handle the change from <math>dx</math> to <math>du</math>. With this substitution, the relation between <math>dx</math> and <math>du</math> becomes
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Wir substituieren <math>u=\ln x\,</math>. So erhalten wir das Verhältnis
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
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and because <math>u = \ln x</math>, then <math>x=e^u</math> and we have that
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und nachdem <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math>und dadurch erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, the substitution becomes
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Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Now, we carry out an integration by parts,
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Dieses Integral berechnen wir durch partielle Intagration,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 49: Zeile 49:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and the answer becomes
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und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 18:19, 5. Mai 2009

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methode lösen.


Methode 1 (partielle Integration)

Am ersten Anblich scheint es unmöglich partielle Integration auszuführen. Der Trick ist dass wir den Integrand als den Produkt

\displaystyle 1\centerdot \ln x\,\textrm{.}

betrachten, und den 1:er integrieren, und \displaystyle \ln x ableiten,

\displaystyle \begin{align}

\int 1\cdot\ln x\,dx &= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - x + C\,\textrm{.} \end{align}


Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren \displaystyle u=\ln x\,. So erhalten wir das Verhältnis

\displaystyle du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx

und nachdem \displaystyle u = \ln x, ist \displaystyle x=e^uund dadurch erhalten wir

\displaystyle du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\int \ln x\,dx = \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] dx &= e^u\,du \end{align}\right\} = \int ue^u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Intagration,

\displaystyle \begin{align}

\int u\cdot e^u\,du &= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - e^u + C\\[5pt] &= (u-1)e^u + C\,, \end{align}

und wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int \ln x\,dx &= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt] &= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.} \end{align}

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